2013-2014学年湖南省怀化市高三第二次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的共轭复数为（    ）

A.         B.          C.        D.

2. 难度：中等

已知命题，；命题不等式恒成立，那么（    ）

A.“”是假命题              B.是真命题

C.“或”为假命题           D.“且”为真命题

3. 难度：中等

下图是2014年在怀化市举行的演讲比赛，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（    ）

A.，       B.，        C.，       D.，

4. 难度：中等

若，则目标函数的取值范围是（    ）

A.         B.          C.          D.

5. 难度：中等

如图1，程序框图输出的结果为（    ）

A.            B.             C.          D.

6. 难度：简单

关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ）

A.      B.       C.        D.

7. 难度：中等

已知为坐标原点，向量，，

，且，则值为（    ）

A.         B.          C.         D.

8. 难度：中等

抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（   ）

A.          B.          C.          D.

9. 难度：中等

在空间中有一棱长为的正四面体，其俯视图的面积的最大值为（    ）

A.          B.          C.          D.

10. 难度：中等

已知，，，映射.对于直线上任意一点，，若，我们就称为直线的“相关映射”，称为映射的“相关直线”.又知

，则映射的“相关直线”有多少条（    ）

A.               B.               C.           D.无数

二、填空题

11. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的两个交点间的距离为       .

12. 难度：中等

是⊙的直径，是⊙切线，为切点，⊙上有两点、，直线交的延长线于点，，，则⊙的半径是_______.

13. 难度：中等

若，则的最大值为______.

14. 难度：中等

有名同学站成一排，要求甲、乙两名同学必须相邻，有____种不同的站法（用数字作答）.

15. 难度：中等

若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为______.

16. 难度：中等

如图3所示，在边长为的正方形中，有一束光线从点射出，到点反射，，，之后会不断地被正方形的各边反射，当光线又回到点时，（1）光线被正方形各边一共反射了________次；（2）光线所走的总路程为_______________.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，一半径为的圆形靶内有一个半径为的同心圆，将大圆分成两

部分，小圆内部区域记为环，圆环区域记为环，某同学向该靶投掷枚飞镖，每次枚. 假设他每次必

定会中靶，且投中靶内各点是随机的.

（1）求该同学在一次投掷中获得环的概率；

（2）设表示该同学在次投掷中获得的环数，求的分布列及数学期望.

18. 难度：困难

如图所示，某建筑工地准备建造一间两面靠墙的三角形露天仓库堆放材料，已知已有两面墙、的夹角为（即），现有可供建造第三面围墙的材料米（两面墙的长均大于米），为了使得仓库的面积尽可能大，记，问当为多少时，所建造的三角形露天仓库的面积最大，并求出最大值？

19. 难度：中等

如图所示，空间中有一直角三角形，为直角，，，现以其中一直角边为轴，按逆时针方向旋转后，将点所在的位置记为，再按逆时针方向继续旋转后，点所在的位置记为.

（1）连接，取的中点为，求证：面面；

（2）求与平面所成的角的正弦值.

20. 难度：中等

甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液，从甲容器中取出溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，，第次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：、.

（1）请用、分别表示和；

（2）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于.

21. 难度：中等

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点与左右两焦点、构成的三角形中面积的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，连接与椭圆的另一交点记为，若与椭圆相切时、不重合，连接与椭圆的另一交点记为，求的取值范围.

22. 难度：困难

已知函数 ，.

（1）已知区间是不等式的解集的子集，求的取值范围；

（2）已知函数，在函数图像上任取两点 、，若存在使得恒成立，求的最大值.