2013-2014学年湖南省益阳市高三模拟考试文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，则等于（   ）

A．     B． C．       D．

2. 难度：简单

已知为虚数单位，则等于（   ）

A．   B．    C．   D．

3. 难度：简单

某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为，现要用分层抽样的方法从中抽取件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（   ）

A． B． C． D．

4. 难度：简单

“方程有实数根”是“”的（   ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充分必要条件      D．既不充分又不必要条件

5. 难度：简单

某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 （   ）

A．       B．       C．         D．

6. 难度：简单

若向量、满足、，，则与的夹角为（   ）

A．     B．    C．     D．

7. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（   ）

A．   B．

C．    D．

8. 难度：中等

函数的部分图像如图所示，如果，且，则等于（   ）

A．  B．     C．     D．1

9. 难度：中等

已知函数，若存在正实数k，使得方程在区间上有三个互不相等的实数根，则x₁+x₂+x₃的取值范围是 （   ）

A．      B．     C．      D．

10. 难度：困难

已知点是平面区域内的动点，点，O为坐标原点，设的最小值为，若恒成立,则实数的取值范围是（   ）

A．       B． 

C．     D．

二、填空题

11. 难度：简单

利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为________.

12. 难度：简单

已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合,且单位相同，曲线的极坐标方程为，则该曲线的直角坐标方程为.

13. 难度：中等

某程序框图如右图所示，则输出的结果S为．

14. 难度：中等

函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,

则的最小值为_______.

15. 难度：中等

某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则．

（1）；

（2）函数的零点个数是.

三、解答题

16. 难度：中等

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.

（1）求的值；

（2）若为的中点，求、的长.

17. 难度：中等

如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.

（1）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为，求及乙组同学投篮命中次数的方差；

（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率.

18. 难度：困难

如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,∥,.

（1）求证:；

（2）求直线与平面所成角的正切值；

（3）在上找一点,使得∥平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明.

19. 难度：困难

已知等比数列各项都是正数，，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：.

20. 难度：压轴

已知椭圆的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM，交椭圆于点，证明：为定值；

（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

21. 难度：压轴

设函数

（1）若，求函数在上的最小值；

（2）若函数在存在单调递增区间，试求实数的取值范围；

（3）求函数的极值点.