2013-2014学年湖南省益阳市高三模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若R，为虚数单位，且，则（   ）

A． ，    B． ，

C． ，    D． ，

2. 难度：中等

已知，则、、的大小关系是（   ）

A．   B．

C．    D．

3. 难度：中等

执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（   ）

 

A．6  B．8  C．10  D．15

4. 难度：简单

设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（   ）

A．  B．  C．  D．

5. 难度：中等

为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（   ）

A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次

B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次

C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人

D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人

6. 难度：简单

设变量x，y满足约束条件，则的最大值是（   ）

A．7    B．8    C．9    D．10

7. 难度：简单

下列有关命题的说法正确的是（   ）

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．

B．“” 是“”的必要不充分条件.

C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.

D．命题“R使得”的否定是：“R均有”．

8. 难度：简单

在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若．则角C等于（   ）

A．  B．  C．  D．

9. 难度：中等

设是的展开式中项的系数（），若，则的最大值是（   ）

A．  B．  C．  D．

10. 难度：中等

函数的定义域为，且其图象上任一点满足方程，给出以下四个命题：

①函数是偶函数；

②函数不可能是奇函数；

③，；

④，.其中真命题的个数是（   ）

A．1  B．2   C．3  D．4

二、填空题

11. 难度：中等

在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于.

12. 难度：中等

不等式的解集是.

13. 难度：中等

如图，在Rt△ADE中，是斜边AE的中点，以为直径的圆O与边DE相切于点C，若AB＝3，则线段CD的长为．

14. 难度：简单

已知向量=(,),=(,)，若，则=.

15. 难度：中等

直线与抛物线所围图形的面积等于.

16. 难度：中等

设集合={1，2，3，4，5},对任意和正整数，记，其中，表示不大于的最大整数，则=，若，则.

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，R．

（1）求的最小值，并求出相应的值的集合；

（2）求的单调递减区间．

18. 难度：中等

甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的．

（1）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；

（2）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥中，,,为的中点，,=.

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20. 难度：中等

科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A市2013年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨（m>0）.

（1）求A市2015年的碳排放总量(用含m的式子表示)；

（2）若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围.

21. 难度：压轴

已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点.

22. 难度：压轴

已知函数，．

（1）若直线恰好为曲线的切线时，求实数的值；

（2）当，时（其中无理数），恒成立，试确定实数的取值范围．