2013-2014学年湖南省长沙市高考二模理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知复数满足（i为虚数单位），则z的值为（    ）

A．i      B．－i        C．1        D．－1

2. 难度：中等

设随机变量X～N(2，3²)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于（    ）

A．0          B．1              C．2          D．3

3. 难度：简单

二项式的展开式中常数项为（    ）

A．－15       B．15           C．－20         D．20

4. 难度：中等

设A，B为两个互不相同的集合，命题P：， 命题q：或，则是的（   ）

A．充分且必要条件          B．充分非必要条件

C．必要非充分条件          D．非充分且非必要条件

5. 难度：中等

已知集合，若，使得成立，则实数b的取值范围是（   ）

A．      B．      C．     D．

6. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，若，则的值为（   ）

A．        B．         C．        D．

7. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最大值为（    ）

A．        B．4       C．3        D．

8. 难度：简单

如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD相交于F，则 的值是（  ）

A．        B．       C．       D．

9. 难度：中等

若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（     ）

A．12对        B．18对         C．24  对     D．30对

10. 难度：困难

已知函数在区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p≠q，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．     B．      C．       D．

二、填空题

11. 难度：中等

（选修4－1：几何证明选讲）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，，则=_________.

12. 难度：简单

不等式有实数解的充要条件是_____.

13. 难度：中等

已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为______.

14. 难度：中等

设点P是双曲线与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，其中F₁,F₂分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为______.[来

15. 难度：中等

已知数列中，，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n的值为      .

16. 难度：困难

若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足，则称a、 b、c是调和的；若满a + c = 2b足，则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好

集”.若集合，集合.则

（1）“好集” P中的元素最大值为         ；

（2）“好集” P的个数为         .

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数f (x)的最小正周期；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足，求f(B)的取值范围．

18. 难度：中等

在如图所示的几何体中，平面，∥， 是的中点，，．

（1）证明：∥平面；

（2）求二面角的大小的余弦值．

19. 难度：中等

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求；

（2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

20. 难度：困难

某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf(x)，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.

（1）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?

（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.

21. 难度：困难

已知A、B为抛物线C：y² = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l₁、l₂分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l₁、l₂的交点.

（1）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；

（2）设C、D为直线l₁、l₂与直线x = 4的交点，求面积的最小值.

22. 难度：困难

设函数在上的最大值为（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：对任何正整数n (n≥2)，都有成立；

（3）设数列的前n项和为S_n，求证：对任意正整数n，都有成立．