2013-2014学年湖南省高三十三校联考第二次考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，则(    )

A.        B.        C.       D.

2. 难度：简单

已知,则“”是“复数为虚数单位)为纯虚数”的(    )

A.充分不必要条件           B.必要不充分条件

C.充要条件                 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是(    )

A.4             B.5              C.6          D.7

4. 难度：中等

等差数列的前项和为,且,则过 点和的直线的斜率是(    )

A.1          B.2           C.4        D.

5. 难度：简单

若函数的图象如图,则函数的图象大致为(    )

6. 难度：中等

如图,给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵,在其中任意取三个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是(    )

A.12                    B.13

C.15                    D.16

7. 难度：中等

若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于(    )

A.10cm³        B.20cm³          C.30cm³        B.40cm³

8. 难度：困难

已知双曲线,为实轴顶点,是右焦点,是虚轴端点,

若在线段上(不含端点)存在不同的两点,使得构成以为斜边的

直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是(    )

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

若实数a,b,c成等差数列,点在动直线上的射影为,点,则的最大值是(    )

A.        B.        C.        D.

10. 难度：困难

已知点是的重心,且,则实数的值为(    )

A.        B.        C.        D.

二、填空题

11. 难度：简单

如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且,若与圆相切,且,则=         .

12. 难度：中等

在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.则与的交点直角坐标为           .

13. 难度：中等

设,则的最小值为         .

14. 难度：简单

定积分的值为            .

15. 难度：中等

在中,是的中点,

(1)             .

(2)是的中点,是(包括边界)内任意一点,则的取值范围是      .

16. 难度：困难

给定有限单调递增数列,数列至少有两项)且

,定义集合.若对任意点,

存在点使得为坐标原点),则称数列具有性质.

(1)给出下列四个命题,其中正确的是          .(填上所有正确命题的序号)

①数列-2,2具有性质;

②数列:-2,-1,1,3具有性质;

③若数列具有性质,则中一定存在两项,使得;

④若数列具有性质,且,则.

(2)若数列只有2014项且具有性质,则的所有项和       .

三、解答题

17. 难度：困难

已知的三内角分别为,向量

,记函数.

（1）若,求的面积；

（2）若关于的方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围．

18. 难度：中等

甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.

（1）求乙得分的分布列和数学期望；

（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

19. 难度：困难

如图,在四棱锥中,平面,,且,点在上.

（1）求证:；

（2）若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.

20. 难度：困难

如图,矩形是一个观光区的平面示意图,建立平面直角坐标系,使顶点在坐标原点分别为轴、轴,(百米),(百米)()观光区中间叶形阴影部分是一个人工湖,它的左下方边缘曲线是函数的图象的一段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段相切(切点记为),并把该观光区分为两部分,且直线左下部分建设为花圃.记点到的距离为表示花圃的面积.

（1）求花圃面积的表达式；

（2）求的最小值.

21. 难度：困难

已知分别为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点, 且

（1）求椭圆的方程;

（2）与圆相切的直线交椭于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.

22. 难度：压轴

设和是函数的两个极值点,其中.

（1）求的取值范围;

（2）若为自然对数的底数),求的最大值.