2013-2014学年福建省三明市高三5月质量检查理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若复数满足 (其中为虚数单位)，则复数为 （   ）

A．        B．        C．     D．

2. 难度：简单

已知集合，集合，则等于（   ）

A．       B．       C．       D．

3. 难度：中等

观察下列关于两个变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（   ）

A．正相关、负相关、不相关       B．负相关、不相关、正相关

C．负相关、正相关、不相关       D．正相关、不相关、负相关

4. 难度：简单

设是两条不同直线，是两个不同平面，下列四个命题中正确的是（   ）

A．若与所成的角相等，则      B．若，，，则

C．若，，，则    D．若，，，则

5. 难度：中等

在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（   ）

A．－56       B．－35       C．35       D．56

6. 难度：简单

设且，命题：函数在上是增函数 ，命题：函数在上是减函数，则是的（   ）

A．充分不必要条件                     B．必要不充分条件

C．充分必要条件                            D．既不充分也不必要条件

7. 难度：简单

已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（   ）

A．       B．       C．       D．

8. 难度：中等

如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（   ）

A．              B．      C．           D．

9. 难度：困难

已知函数则函数的零点个数为（   ）

A．1       B．2       C．3       D．4

10. 难度：中等

在数列中，，且，，若数列满足，则数列是（   ）

A．递增数列       B．递减数列       C．常数列       D．摆动数列

二、填空题

11. 难度：简单

曲线与直线及轴所围成的图形的面积是          ．

12. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果是__   __．

13. 难度：中等

已知变量满足约束条件若取整数，则目标函数的最大值是      .

14. 难度：中等

已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最

大值为         ．

15. 难度：中等

对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：

（ⅰ），都有；

（ⅱ），使得对，都有；

（ⅲ），，使得；

（ⅳ），都有，

则称集合对于运算“”构成“对称集”．

下面给出三个集合及相应的运算“”：

①，运算“”为普通加法；

②，运算“”为普通减法；

③，运算“”为普通乘法．

其中可以构成“对称集”的有        ．（把所有正确的序号都填上）

三、解答题

16. 难度：中等

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：，，，，，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：

（1）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为合格产品的数量，求的分布列和数学期

望； 

（2）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．

17. 难度：困难

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，,，

平面平面,若，，,，且．

（1）求证：平面； 

（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的值．

18. 难度：困难

已知点是抛物线上不同的两点，点在抛物线的准线上，且焦点

到直线的距离为.

(I）求抛物线的方程；

（2）现给出以下三个论断：①直线过焦点；②直线过原点；③直线平行轴．

         请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.

19. 难度：困难

若函数，非零向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”.

（1）已知函数的最小正周期为，求函数的“相伴向量”；

（2）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数，若，求的值；

（3）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出“相伴向量”；

若不存在，请说明理由.

20. 难度：困难

已知函数，，且在点

处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；  

（3）设为两曲线，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为.若取，试判断当直线与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.

21. 难度：中等

若二阶矩阵满足：.

（1）求二阶矩阵；

（2）若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程.

22. 难度：中等

已知在平面直角坐标系中，圆的方程为．以原点为极点，以轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；

（2）求圆上的点到直线的距离的最小值．

23. 难度：简单

设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．