2013-2014学年福建省高三高考压轴理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知全集集合,，下图中阴影部分所表示的集合为(   )

A.         B.          C.         D.

2. 难度：简单

下列命题正确的是(   )

A．存在x₀∈R，使得的否定是：不存在x₀∈R，使得；

B．存在x₀∈R，使得的否定是：任意x∈R，均有

C．若x=3，则x²-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x²-2x-3≠0.

D．若为假命题，则命题p与q必一真一假

3. 难度：简单

已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．为使，应选择下面四个选项中的（    ）

A．③⑤       B．①⑤       C．①④      D．②⑤

4. 难度：中等

直线与在区间上截曲线所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（　　）

（A）        （B）

（C）        （D） 

5. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC的外心，则的值是(（　　）

A．4          B. 8       C.6      D．6

6. 难度：简单

执行下面的框图，若输入的是，则输出的值是（    ）

A．120           B．720            C．1440            D．5040

7. 难度：中等

如图，设圆弧与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为，过圆弧上一点做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为.现随机在区域内投一点，若设点落在

区域内的概率为，则的最大值为（     ）

A．       　　 B．        　　C．       　　 D．

8. 难度：中等

为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：

（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3，  ,100；

（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；

（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.

如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是(   )

A.88%               B.90%            C.92%               D.94%

9. 难度：困难

已知与都是定义在R上的函数， ，且，且，在有穷数列中，任意取前项相加，则前项和大于的概率是（       ）

A.          B.         C.       D.

二、填空题

10. 难度：简单

设常数.若的二项展开式中项的系数为-15,则_______.

11. 难度：中等

已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是          ．

12. 难度：中等

小明在做一道数学题目时发现：若复数，(其中), 则， ，根据上面的结论，可以提出猜想: z₁·z₂·z₃=                   ．

13. 难度：困难

若函数，则=_______________。

14. 难度：中等

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13， 其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887 ．人们称该数列{a_n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a_n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b_n}，在数列{b_n}中第2014项的值是_______]

三、解答题

15. 难度：简单

下图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（2）设Ｘ是此人停留期间空气质量优良的天数，求Ｘ的分布列与数学期望

（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）.

16. 难度：困难

已知函数（,,）,的部分图像如图所示,、分别为该图像的最高点和最低点,点的坐标为．

（1）求的最小正周期及的值；

（2）若点的坐标为,,求的值和的面积．

17. 难度：压轴

如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．设为线段的中点．

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系．

18. 难度：困难

如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交，于点，，作//，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．

（1）求证：平面； 

（2）若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值.

19. 难度：困难

设(是自然对数的底数，)，且．

（1）求实数的值，并求函数的单调区间；

（2）设，对任意，恒有成立．求实数的取值范围；

（3）若正实数满足，，试证明：；并进一步判断：当正实数满足，且是互不相等的实数时，不等式是否仍然成立．

20. 难度：中等

在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为．

（1）求矩阵的逆矩阵；

（2）求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程．

21. 难度：困难

在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（1）分别求出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数．

22. 难度：中等

已知，且．

（1）试利用基本不等式求的最小值；

（2）若实数满足，求证：．