2013-2014学年重庆市高三下学期考前模拟（二诊）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知为虚数单位，复数的虚部是（     ）

（A）      （B）      （C）      （D）

2. 难度：简单

设集合，集合，则（    ）

（A）      （B）      （C）     （D）

3. 难度：简单

若是的必要条件，是的充分条件，那么下列推理一定正确的是（    ）

（A）     （B）   （C）    （D）

4. 难度：简单

如图是收集重庆市2013年9月各气象采集点处的平均气温（单位：℃）的数据制成的频率分布直方图，图中有一处因污迹看不清。已知各采集点的平均气温范围是，且平均气温低于22.5℃的采集点个数为11，则平均气温不低于25.5℃的采集点个数为（     ）

（A）6            （B）7            （C）8           （D）9

5. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，则输出的为（     ）

（A）20              （B）14             （C）10            （D）7

6. 难度：中等

某几何体的三视图如题（6）所示，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（    ）

（A）1          （B）             （C）             （D）

7. 难度：困难

设是椭圆上两点，点关于轴的对称点为（异于点），若直线分别交轴于点，则（      ）

（A）0      （B）1        （C）      （D）2

8. 难度：中等

对任意实数，定义运算：，设，则的值是（     ）

（A）      （B）        （C）        （D）不确定

9. 难度：中等

已知中，边的中点，过点的直线分别交直线、于点、，若，，其中，则的最小值是（    ）

（A）1      （B）        （C）        （D）

10. 难度：困难

已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（  ）

（A）1      （B）      （C）      （D）3

二、填空题

11. 难度：简单

已知，且，则            .

12. 难度：简单

等比数列满足：对任意，则公比            .

13. 难度：困难

已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，直线与曲线围成的平面区域为，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围是            .

14. 难度：简单

如图：两圆相交于点、，直线与分别与两圆交于点、和、，，则            .

15. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线（为参数）与曲线异于点的交点为，与曲线异于点的交点为，则            .

16. 难度：简单

函数，若不等式的解集为，则实数的值为            .

三、解答题

17. 难度：困难

已知向量，函数的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）设的三边、、满足：，且边所对的角为，若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.

18. 难度：中等

某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为.

（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；

（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局记2分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及数学期望.

19. 难度：简单

如图，直三棱柱中，，

为中点，上一点，且.

（1）当时，求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求的值.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）设函数，当时，讨论的单调性；

（2）若函数在处取得极小值，求的取值范围.

四、选择题

21. 难度：困难

已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。求证：无论点怎样变化，的面积为常数，并求出此常数.

五、解答题

22. 难度：困难

如图所示的两个同心圆盘均被等分（且），在相重叠的扇形格中依次同时填上，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”.

（1）求个不同位置的“旋转和”的和；

（2）当为偶数时，求个不同位置的“旋转和”的最小值；

（3）设，在如图所示的初始位置将任意对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0.