2013-2014学年陕西省等五校高三第三次模拟理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若复数是纯虚数，则实数的值为(   )

(A) 或            (B)            (C)             (D)或

2. 难度：中等

已知集合,,则(   )

(A)          (B)        (C)         (D)

3. 难度：中等

等差数列中，如果，，则数列前9项的和为(   )

(A)297              (B)144            (C)99            (D)66

4. 难度：中等

圆上的点到直线的距离最大值是(   )

(A)2                (B)1+        (C)       (D)1+

5. 难度：中等

某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(   )

(A)45              (B)50

(C)55              (D)60

6. 难度：中等

若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是(   )

 

(A)         (B)           (C)           (D)

7. 难度：中等

下列命题正确的个数是 (   )

①命题“”的否定是“”；

②函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；

③在上恒成立在上恒成立；

④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.

(A)1               (B)2                 (C)3                (D)4

8. 难度：中等

已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为(   )

(A)直角三角形      (B)等边三角形      (C)钝角三角形      (D)等腰直角三角形

9. 难度：中等

双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为(   )

(A)             (B)             (C)            (D)

10. 难度：中等

定义域为的函数满足，当时，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为(   )

(A)        (B)        (C)        (D)

二、填空题

11. 难度：中等

右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为          .

12. 难度：简单

若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是          .

13. 难度：简单

函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为          .

14. 难度：简单

观察下列等式：；；；……

则当且时，              .（最后结果用表示）

15. 难度：简单

己知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是          .

16. 难度：简单

如图，切圆于点，割线经过圆心，，绕点逆时针旋转到，则的长为          .

17. 难度：中等

在极坐标系中，若圆的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系，则在直角坐标系中，圆心的直角坐标是          .

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）在中，分别是角的对边，且，求的面积.

19. 难度：中等

设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）当时，数列满足，，求数列的通项公式．

20. 难度：困难

如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求锐二面角的余弦值.

21. 难度：中等

一个口袋中有个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．

(1)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；

(2)若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.

22. 难度：困难

已知椭圆的短半轴长为，动点在直线（为半焦距）上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；

（3）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，

求证：线段的长为定值，并求出这个定值．

23. 难度：压轴

设函数．

（1）求的单调区间；

（2）当时，若方程在上有两个实数解，求实数的取值范围；

（3）证明：当时，．