2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第九章第10课时练习卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：压轴

已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，

过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.

(1)求椭圆方程；

(2)若圆N与x轴相切，求圆N的方程；

(3)设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．

二、填空题

2. 难度：简单

直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系是________．

3. 难度：简单

椭圆＝1的两焦点为F₁、F₂，一直线过F₁交椭圆于P、Q，则△PQF₂的周长为________．

4. 难度：中等

已知双曲线方程是x²－＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P₁、P₂两点，并使P(2，1)为P₁P₂的中点，则此直线方程是____________．

5. 难度：中等

若斜率为的直线l与椭圆＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．

6. 难度：简单

已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．

三、解答题

7. 难度：困难

已知曲线E：ax²＋by²＝1(a>0，b>0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A、B，且＝－2.

(1)若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；

(2)若a＝b＝1，求直线AB的方程．

四、填空题

8. 难度：中等

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若＝3，则k＝________．

五、解答题

9. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；

(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；

(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB..

10. 难度：困难

如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M.是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

11. 难度：压轴

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m>0，y₁>0，y₂<0.

(1)设动点P满足PF²－PB²＝4，求点P的轨迹；

(2)设x₁＝2，x₂＝，求点T的坐标；

(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

12. 难度：困难

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为时，求k的值．

13. 难度：困难

已知双曲线＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F₂的直线l交双曲线于A、B两点，F₁为左焦点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若△F₁AB的面积等于6，求直线l的方程．

六、填空题

14. 难度：中等

设抛物线y²＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．

七、解答题

15. 难度：困难

如图，过抛物线C：y²＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x_，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)求y₁＋y₂的值；

(2)若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面积的最大值．

16. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋1)²＋y²＝16，点F(1，0)，E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D.

(1)求点B的轨迹方程；

(2)当点D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；

(3)若G是圆C上的另一个动点，且满足FG⊥FE，记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

17. 难度：压轴

给定椭圆C：＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；

(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围；

(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由．

18. 难度：压轴

如图，已知椭圆C的方程为＋y²＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的矩形的两个顶点．

(1)设P是椭圆C上任意一点，若＝m＋n，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；

(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．

八、填空题

19. 难度：中等

若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²＝2bx的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为________．

九、解答题

20. 难度：困难

如图，设E：＝1(a＞b＞0)的焦点为F₁与F₂，且P∈E，∠F₁PF₂＝2θ.求证：△PF₁F₂的面积S＝b²tanθ.

21. 难度：压轴

已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A、B.

(1)若AB＝，求k的值；

(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.