2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第九章第11课时练习卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

以双曲线＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________．

2. 难度：简单

以双曲线－3x²＋y²＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________．

3. 难度：简单

若抛物线y²＝2px的焦点与椭圆＝1的右焦点重合，则p＝________．

4. 难度：简单

已知双曲线x²－＝1的左顶点为A₁，右焦点为F₂，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________．

5. 难度：简单

已知椭圆C：＋y²＝1的两焦点为F₁，F₂，点P(x₀，y₀)满足＋≤1，则PF₁＋PF₂的取值范围为________．

二、解答题

6. 难度：困难

如图，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．

7. 难度：压轴

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

(1)求证：A、C、T三点共线；

(2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．

8. 难度：压轴

如图，椭圆C₀：＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C₁：x²＋y²＝，b<t₁<a.点A₁、A₂分别为C₀的左、右顶点，C₁与C₀相交于A、B、C、D四点．

(1)求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；

(2)设动圆C₂：x²＋y²＝与C₀相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t₂<a，t₁≠t₂.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．

9. 难度：压轴

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4m，0)(m＞0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若θ＝90°，，求实数m；

(3)试问的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．

10. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：(x＋3)²＋(y－1)²＝4和圆C₂：(x－4)²＋(y－5)²＝4.

(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C₁截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

11. 难度：压轴

已知椭圆＋y²＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．

(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

12. 难度：中等

如图，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，点E满足＝λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

13. 难度：压轴

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P与A、B连线的斜率之积为－.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.

(ⅰ)求圆M的方程；

(ⅱ)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

14. 难度：压轴

如图，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e＝.过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

三、填空题

15. 难度：中等

已知抛物线y²＝2px(p≠0)上存在关于直线x＋y＝1对称的相异两点，则实数p的取值范围为________．

16. 难度：困难

已知抛物线y²＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a，0)，ab≠0，b²≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M₁、M₂，当M变动时，直线M₁M₂恒过一个定点，此定点坐标为________．

四、解答题

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1，0)．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点．

18. 难度：困难

已知椭圆E：＋y²＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.

(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；

(2)若Rt△MAB面积的最大值为，求a；

(3)对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由．

19. 难度：压轴

设A₁、A₂与B分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A₂B与圆C：x²＋y²＝1相切．

(1)求证：＝1；

(2)P是椭圆E上异于A₁、A₂的一点，若直线PA₁、PA₂的斜率之积为－，求椭圆E的方程；

(3)直线l与椭圆E交于M、N两点，且·＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．

20. 难度：中等

已知曲线C上动点P(x，y)到定点F₁(，0)与定直线l₁∶x＝的距离之比为常数.

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)²＋y²＝r²(r>0)，设圆T与曲线C交于点M与点N，求·的最小值，并求此时圆T的方程．

21. 难度：困难

已知抛物线x²＝4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.

(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；

(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

22. 难度：压轴

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，一条准线方程为x＝

(1)求椭圆C的方程；

(2)设G、H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH.

①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；

②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

23. 难度：困难

已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，双曲线＝1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁.又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)．

(1)当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

(2)当＝λ，求λ的最大值．

24. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，1)，P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k_OP＋k_OA＝k_PA.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且＝λ，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA＝2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．