2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第九章第7课时练习卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．

2. 难度：简单

已知F₁、F₂是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF₁F₂的面积为9，则b＝________.

3. 难度：中等

已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且＝2，则C的离心率为________．

4. 难度：中等

F₁，F₂是椭圆＋y²＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动．则的最大值是________．

5. 难度：简单

已知F₁、F₂为双曲线C：x²－y²＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F₁PF₂＝60°，则|PF₁|·|PF₂|＝________．

二、解答题

6. 难度：中等

如图，F₁、F₂是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且＝，过点F₂的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，·＝0.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若△ABF₁的周长为，求椭圆的方程．

7. 难度：困难

已知椭圆的右焦点F，左、右准线分别为l₁：x＝－m－1，l₂：x＝m＋1，且l₁、l₂分别与直线y＝x相交于A、B两点．

(1)若离心率为，求椭圆的方程；

(2)当·<7时，求椭圆离心率的取值范围．

8. 难度：困难

设A、B分别为椭圆＝1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线．

(1)求椭圆的方程；

(2)设P为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP与椭圆相交于两点B、N，求证：∠NAP为锐角．

9. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)，设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线PA的斜率为k₁，直线MA的斜率为k₂，求k₁·k₂的取值范围．

10. 难度：困难

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝(a为长半轴，c为半焦距)上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；

(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

11. 难度：中等

已知椭圆C：＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x²＋y²＝(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.

(1)若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；

(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求·的值(O是坐标原点)；

(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.

12. 难度：困难

已知曲线C：(5－m)x²＋(m－2)y²＝8(m∈R)．

(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．

13. 难度：中等

已知直线l经过点(1，0)且一个方向向量d＝(1，1)．椭圆C：＝1(m>1)的左焦点为F₁.若直线l与椭圆C交于A，B两点，满足·＝0，求实数m的值．

14. 难度：压轴

如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点A(0，1)．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N，求证：直线MN恒过定点P.

15. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F₁，F₂分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且＋5＝0.

(1)求椭圆E的离心率； (2)已知点D(1，0)为线段OF₂的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF₁并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k₁、k₂，试问是否存在常数λ，使得k₁＋λk₂＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

16. 难度：困难

如图，正方形ABCD内接于椭圆＝1(a＞b＞0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上，顶点P、Q在正方形的边AB上，且A、M都在第一象限．

(1)若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E、F两点，正方形MNPQ的边长为2.

①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；

②求椭圆的标准方程；

(2)设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e²－k是定值．

17. 难度：困难

已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.

(1)求椭圆方程；

(2)若圆N与x轴相切，求圆N的方程；

(3)设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．

18. 难度：困难

已知椭圆＝1(a＞b＞0)，点P在椭圆上．

(1)求椭圆的离心率；

(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足AQ＝AO，求直线OQ的斜率的值．

19. 难度：困难

已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点M(－2，－1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.

(1)求椭圆C的方程；

(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

20. 难度：困难

已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率e＝，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a，0)．若|AB|＝，求直线l的倾斜角．

21. 难度：中等

如图，已知△OFQ的面积为S，且·＝1.设||＝c(c≥2)，S＝c.若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当||取最小值时，求椭圆的方程．