上海市2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，且，则实数的值是__________.

2. 难度：简单

函数的定义域是_________.

3. 难度：简单

如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为___________.

4. 难度：简单

在的二项展开式中，含的项是二项展开式的第__________项.

5. 难度：简单

已知复数（为虚数单位），复数满足，则__________.

6. 难度：简单

等差数列{a_n}的前10项和为30，则________

7. 难度：中等

已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为，则此双曲线方程为_________

8. 难度：简单

某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率的是__________.（结果用最简分数表示）

9. 难度：中等

如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，是原来小正方形的其中两个顶点，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有__________个.

10. 难度：中等

函数，，若，则__________.

11. 难度：中等

已知实数数列满足，是数列的前n项和.若，则__________.

12. 难度：困难

已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.

二、单选题

13. 难度：简单

已知都是实数，那么“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

14. 难度：中等

若数列的通项公式前项和为，则下列结论中正确的是（    ）

A.不存在 B. C.或 D.

15. 难度：中等

有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是

A.4 B.5 C.6 D.7

16. 难度：简单

对任意一个复数，定义集合，设（为虚数单位），则集合与的关系是（    ）

A. B. C. D.和没有关系

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，且.求：

（1）四棱锥的体积；

（2）与平面所成角的大小.

18. 难度：中等

设函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）中，,且，证明为直角三角形.

19. 难度：中等

某公司进行共享单车的投放与损耗统计，到去年年底单车的市场保有量（已投入市场且能正常使用的单车数量）为辆，预计今后每年新增单车1000辆，随着单车的频繁使用，估计每年将有200辆车的损耗，并且今后若干年内，年平均损耗在上一年损耗基础上增加％.

（1）预计年底单车的市场保有量是多少？

（2）到哪一年底，市场的单车保有量达到最多？该年的单车保有量是多少辆（最后结果精确到整数）？

20. 难度：困难

如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于（其中点在轴的上方）两点.

（1）若线段的长为3，求到直线的距离；

（2）证明：为钝角三角形；

（3）已知且，求三角形的面积的取值范围.

21. 难度：困难

是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：

①对任意的，都有；

②存在常数，使得对任意的，都有.

（1）设，问是否属于？说明你的判断理由；

（2）若，如果存在，使得，证明这样的是唯一的；

（3）设为正实数，是否存在函数，使？作出你的判断，并说明理由.