上海市2017-2018学年高三上学期开学考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知全集，集合，则________

2. 难度：简单

设函数的反函数为，则的值域为________.

3. 难度：中等

向量在向量 方向上的投影为________.

4. 难度：简单

已知，则________

5. 难度：简单

若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则=_____

6. 难度：简单

若三阶行列式中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是，则（其中是虚数单位，）的值是________

7. 难度：中等

若变量满足约束条件{，则的最小值为_____．

8. 难度：中等

五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有________种

9. 难度：中等

在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是________

10. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为,过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点,在直线上,且满足,则        ．

11. 难度：中等

《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为________

12. 难度：简单

函数是定义域为的偶函数，当时， 若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取

值范围是________

二、单选题

13. 难度：中等

如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B之间的距离，李同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（已知角A、B、C所对边分别记作a、b、c）：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量a、b、A；则一定能确定A、B距离的方案个数为（    ）

A.3 B.2 C.1 D.0

14. 难度：简单

若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）

A.90 B.45 C.120 D.180

15. 难度：中等

已知是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是(    )

A.0 B. C. D.

16. 难度：简单

定义在上的满足：对任意，总有，则下列说法正确的是（    ）

A.是奇函数 B.是奇函数

C.是奇函数 D.是奇函数

三、解答题

17. 难度：中等

设在直三棱柱中，，，、分别为、BC的中点.

（1）求异面直线、所成角的大小；

（2）求点到平面的距离.

18. 难度：中等

已知函数.

（1）求方程的解集.

（2）当，求函数的值域.

19. 难度：中等

已知为数列的前项和，，，.

（1）求证：为等差数列；

（2）若，问是否存在，对于任意，不等式成立.

20. 难度：困难

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与P关于直线对称.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设直线与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线经过及AB的中点，求直线在y轴上的截距b的取值范围；

（3）若Q是双曲线C上的任一点，、为双曲线C的左、右两个焦点，从引的角平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.

21. 难度：困难

设，，其中m是不等于零的常数.

（1）时，直接写出的值域；

（2）求的单调递增区间；

（3）已知函数，，定义：，，，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.例如：，，则，，，.当时，恒成立，求n的取值范围.