湖南省郴州市2019-2020学年高三第一次教学质量监测（12月） 数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数为纯虚数，则实数（    ）．

A. B. C.1 D.2

3. 难度：困难

下列结论中正确的个数是（    ）．

①在中，若，则是等腰三角形；

②在中，若 ，则

③两个向量，共线的充要条件是存在实数，使

④等差数列的前项和公式是常数项为0的二次函数．

A.0 B.1 C.2 D.3

4. 难度：简单

已知向量，，且，则向量在方向上的投影为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

郴州市某校高一（10）班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学体验，但由于是高峰期，景馆为高一（10）班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线（    ）

A.24 B.18 C.16 D.10

6. 难度：中等

函数的大致图象是（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（    ）

A.五寸 B.二尺五寸 C.五尺五寸 D.四尺五寸

8. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，若（）的最大值是16，则a的值为（    ）

A.2 B. C.4 D.

9. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆上的点到直线的距离最小值为m，若双曲线上一点P，使，则的值为（    ）

A.3 B.2 C. D.

10. 难度：中等

丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ）

A.7 B. C. D.

12. 难度：困难

在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

展开式中的常数项为______．

14. 难度：中等

设等差数列满足，，，则数列的前n项和为______．

15. 难度：中等

如图，B是AC上一点，以AB，BC，AC为直径作半圆．过B作，与半圆相交于D，，，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是______．

16. 难度：困难

已知直线l：与椭圆：（）交于A、B两点，与圆：交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是______．

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角、、所对的边分别为、、，且向量与向量共线．

（1）求角的大小；

（2）若，且，，求三角形的面积．

18. 难度：中等

如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，，是等腰三角形．

（1）求证：平面PAC；

（2）求由平面PAC与平面PED构成的锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	，	，	，	，	，	，
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），当六月份这种饮料一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

20. 难度：中等

已知点在椭圆上E：（），点为平面上一点，O为坐标原点．

（1）当取最小值时，求椭圆E的方程；

（2）对（1）中的椭圆E，P为其上一点，若过点的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（），求实数t的取值范围．

21. 难度：困难

设函数，，其中，e是自然对数的底数．

（1）若在上存在两个极值点，求a的取值范围；

（2）当，设，，若在上存在两个极值点，，且，求证： ．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）设点在曲线上，求点到直线距离的最小值与最大值．

23. 难度：中等

设，．

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意的，使得，求实数的取值范围．