河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知不等式的解集为，则（    ）

A.-1 B.1 C.-2 D.2

2. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A.39 B.78 C.117 D.156

3. 难度：简单

若，给出下列不等式：①；②；③；④．其中正确的不等式是（    ）

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

4. 难度：简单

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北（即）的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在北偏东（即）的方向上，仰角，则此山的高度（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

设为非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

设分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

若变量满足约束条件,则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知双曲线1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆C：x²+y²﹣12x＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C的圆心，则该双曲线的方程为（     ）

A. B.

C. D.

9. 难度：简单

已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知是椭圆的右焦点，是椭圆上关于原点对称的两点，若，则的内切圆的面积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知数列满足，是数列的前项和，则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

正方体的棱长为1，平面内的一动点，满足到点的距离与到线段的距离相等，则线段长度的最小值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是_____.

14. 难度：简单

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²＋c²－b²＝ac，则B=_______．

15. 难度：中等

太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为______.

16. 难度：中等

过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以为直径的圆分别与轴相切于点，则.

三、解答题

17. 难度：中等

已知全集，非空集合，,记，若是的充分条件，求实数的取值范围.

18. 难度：中等

已知等比数列的前项和为.已知，.

(1)求，；

(2)证明，，是成等差数列.

19. 难度：中等

在中，内角、、的对边分别为、、，边上的中线，满足.

(1)求；

(2)若，求的周长的取值范围.

20. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，过点的直线l与相交于两点，点关于轴的对称点为.

(1)证明：直线经过点；

(2)设，求直线的方程 .

21. 难度：中等

如图,三棱柱的所有棱长均为,底面侧面,为的中点,.

(1)证明：平面.

(2)若是棱上一点,且满足,求二面角的余弦值.

22. 难度：困难

已知为椭圆的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，当点与坐标原点重合时，直线的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求面积的最大值．