上海市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

两两平行的三条直线，最多可以确定______个平面.

2. 难度：简单

若（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为______.

3. 难度：简单

若，，与的夹角为，则的值为______．

4. 难度：简单

若复数满足（为虚数单位），则______.

5. 难度：简单

若一个长方体顶点的三个面的面对角线长分别是，，，则长方体的体对角线长是______（用，，表示）

6. 难度：简单

关于的方程的一个根是，则______.

7. 难度：简单

若一个圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为________.

8. 难度：中等

一个水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形，如图所示，，，，则原平面图形的周长为______.

9. 难度：简单

设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S₁，S₂，体积分别为V₁，V₂，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．

10. 难度：中等

如图，直三棱柱的六个顶点都在半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则半球面（不含底面）的面积为______.

11. 难度：简单

一个四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面当中最大面的面积是______.

       

12. 难度：困难

现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图），其体积等于______．

二、单选题

13. 难度：中等

若表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

14. 难度：中等

已知命题：“若，为异面直线，平面过直线且与直线平行，则直线与平面的距离等于异面直线，之间的距离”为真命题.根据上述命题，若，为异面直线，且它们之间的距离为，则空间中与，均异面且距离也均为的直线的条数为（    ）

A.0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条

15. 难度：中等

如图，在正方形中，、分别为线段、上的点，，，将绕直线，将绕直线各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线与直线所成角的最大值为（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：困难

如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设与底面所成的角分别为均不为.若，则动点 的轨迹为（   ）

A.直线的一部分 B.圆的一部分

C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

三、解答题

17. 难度：中等

在北纬线上有、两地，它们分别在东经与东经的经线上，又有点在东经，南纬线上，设地球半径为，求：

（1）、两地的球面距离；

（2）、两地的球面距离（用表示）

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，，、、分别是、、的中点.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求点到平面之间的距离.

19. 难度：中等

已知，且满足.

（1）求 ；

（2）若，，求证：.

20. 难度：中等

如图，在直角梯形，，，，点是的中点，现沿将平面折起，设.

（1）当为直角时，求直线与平面所成角的大小；

（2）当为多少时，三棱锥的体积为；

（3）在（2）的条件下，求此时二面角的大小.

21. 难度：困难

和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三原方程.

（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点，法向量为的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在，，轴上的截距分别为，，的平面的截距式方程.（不需要说明理由）

（2）设、为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，求曲面的方程.

（3）对（2）中的曲面，指出和证明曲面的对称性，并画出曲面的直观图.