上海市闵行区2017-2018学年高三上学期期末质量调研数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

集合，，则________．

2. 难度：简单

计算_________．

3. 难度：简单

方程的根是________

4. 难度：简单

已知是纯虚数（是虚数单位），则______.

5. 难度：简单

已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是_________．

6. 难度：简单

从名男同学和名女同学中选取人参加某社团活动，选出的人中男女同学都有的不同选法种数是_______（用数字作答）

7. 难度：简单

在的展开式中，的系数为___.（用数字作答）

8. 难度：简单

如图，在直三棱柱中，，，，，则异面直线与，所成角的大小是___________（结果用反三角函数表示）．

9. 难度：中等

已知数列满足，，其中是等差数列，且，则________．

10. 难度：中等

如图，向量与的夹角为， ,，是以为圆心、为半径的弧上的动点，若，则的最大值是________.

11. 难度：简单

已知分别是双曲线的左右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线的右支于，若，则该双曲线的渐近线方程是______.

12. 难度：中等

如图，在折线中，,,分别是的中点，若折线上满足条件的点至少有个，则实数的取值范围是___________.

二、单选题

13. 难度：简单

若空间中三条不同的直线、、，满足， ，则下列结论一定正确的是 (    )．

A. B.

C.、既不平行也不垂直 D.、相交且垂直

14. 难度：中等

若，，则一定有（ ）

A.     B.     C.     D.

15. 难度：中等

无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（    ）

A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要

16. 难度：中等

已知函数的值域是，有下列结论：①当时，； ②当时，；③当时，； ④当时，．其中结论正确的所有的序号是(    )．

A.①② B.③④ C.②③ D.②④

三、解答题

17. 难度：简单

已知函数（其中）．

（1）若函数的最小正周期为,求的值，并求函数的单调递增区间；

（2）若，，且，求的值．

18. 难度：简单

如图，已知是圆锥的底面直径，是底面圆心，，，是母线的中点，是底面圆周上一点，．

（1）求圆锥的侧面积；

（2）求直线与底面所成的角的大小．

19. 难度：中等

某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益．据测算，首日参与活动人数为人，以后每天人数比前一天都增加，天后捐步人数稳定在第天的水平，假设此项活动的启动资金为万元，每位捐步者每天可以使公司收益元（以下人数精确到人，收益精确到元）．

（1）求活动开始后第天的捐步人数，及前天公司的捐步总收益；

（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？

20. 难度：中等

已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，直线与相交于不同的两点．

（1）求的方程；

（2）若直线经过点，求的面积的最小值(为坐标原点)；

（3）已知点，直线经过点，为线段的中点，求证：．

21. 难度：困难

对于函数，如果存在实数（，且不同时成立），使得对恒成立，则称函数为“映像函数”.

（1）判断函数是否是“映像函数”，如果是，请求出相应的的值，若不是，请说明理由；

（2）已知函数是定义在上的“映像函数”，且当时，.求函数（）的反函数；

（3）在（2）的条件下，试构造一个数列，使得当时，，并求时，函数的解析式，及的值域．