上海市2017-2018学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则  　　 　 ．

2. 难度：简单

已知是虚数单位，复数满足，则__________．

3. 难度：中等

函数的最小正周期为     ．

4. 难度：简单

已知单位向量满足，则的夹角为_________

5. 难度：简单

将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为_________

6. 难度：简单

已知是函数的反函数，则

     ．

7. 难度：中等

将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形.令，则____________

8. 难度：简单

已知，，，点D在线段OB内，且AD平分∠OAB，则点D的坐标为_____

9. 难度：简单

已知为等比数列，且，若，则_______

10. 难度：中等

若在△ABC中，则=_______．

11. 难度：简单

已知为定义在上的奇函数，且当时，..记为函数的所有零点之和.当时，的取值范围为______

12. 难度：简单

现含有个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中，，，若A、B、C中的元素满足条件：，，（），则称M为“完并集合”.对于“完并集合”，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是______

二、单选题

13. 难度：中等

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（     ）

A.     B.     C.     D.

14. 难度：简单

设，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

15. 难度：中等

定义，设实数满足约束条件，

，则的取值范围是 ( ▲ )

A. B. C. D.

16. 难度：中等

已知函数，给出下列四个判断：

（1）的值域是；

（2）的图像是轴对称图形；

（3）的图像是中心对称图形；

（4）方程有解.

其中正确的判断有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

三、解答题

17. 难度：中等

已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小；

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

18. 难度：简单

华东师大二附中乐东黄流中学位于我国南海边，有一片美丽的沙滩和一弯天然的海滨浴场.如图，海岸线MAN，，（海岸线MAN上方是大海），现用长为BC的栏网围成一个三角形学生游泳场所，其中.

（1）若，求三角形游泳场所面积最大值；

（2）若BC=600，，由于学生人数的增加需要扩大游泳场所面积，现在折线MBCN上方选点D，现用长为BD，DC的栏围成一个四边形游泳场所DBAC，使，求四边形游泳场所DBAC的最大面积.

19. 难度：困难

已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线交双曲线的左、右两支分别于两点，过且与垂直的直线交双曲线的左、右两支分别于两点.

（1）求的取值范围；

(2)求四边形面积的最小值

20. 难度：中等

已知函数，函数的图像与函数的图像关于直线对称.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围；

（3）设函数，试用列举法表示集合.

21. 难度：困难

已知集合（，且），若存在非空集合，使得，且，并任意，都有，则称集合S具有性质P，称为集合S的P子集.

（1）当时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集；

（2）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设，求证：任意，，都有；

（3）求证：对任意正整数，集合S具有性质P.