湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

在复平面内，复数是虚数单位）对应的点位于（   ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 难度：中等

设，则“”是“”成立的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

在四边形（ ）

A.  B.  C.  D.

4. 难度：中等

    若x,y满足约束条件的取值范围是

A.[0,6] B.[0,4] C.[6,  D.[4,

5. 难度：简单

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(    )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

已知奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

设m为正整数，(x＋y)^2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)^2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

9. 难度：中等

已知点是直线上动点,过点引圆两条切线,为切点,当的最大值为时,则的值为(     )

A. B. C. D.

10. 难度：简单

英国统计学家辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：

法官甲
终审结果	民事庭	行政庭	合计
维持	29	100	129
推翻	3	18	21
合计	32	118	150

法官乙
终审结果	民事庭	行政庭	合计
维持	90	20	110
推翻	10	5	15
合计	100	25	125

记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，则下面说法正确的是（    ）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

11. 难度：困难

已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题：

：若，则此四棱锥的侧面积为；

：若分别为的中点，则平面；

：若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.

在下列命题中，为真命题的是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知为三角形内角，，则__________．

14. 难度：简单

已知函数,若存在四个不同的实数满足,且,则__________．

15. 难度：简单

为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:

（i）老年人的人数多于中年人的人数;

（ii）中年人的人数多于青年人的人数;

（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.

①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________.

②抽取的总人数的最小值为__________．

16. 难度：困难

太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列有关说法中：

①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；

②函数是圆的一个太极函数；

③直线所对应的函数一定是圆的太极函数；

④若函数是圆的太极函数，则

所有正确的是__________．

三、解答题

17. 难度：中等

在中,角所对的边为,且.

(1)求角的大小;

(2)若,求的取值范围.

18. 难度：中等

已知正项数列中,.

(1)求数列的通项公式;

(2)若数列是等差数列,且,,求数列的前项和.

19. 难度：中等

已知菱形的边长为,,,将菱形沿对角线折起,使,得到三棱锥,如图所示.

(1)当时,求证:平面;

(2)当二面角的大小为时,求直线与平面所成的正切值.

20. 难度：中等

半圆的直径的两端点为,点在半圆及直径上运动,若将点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点,记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线的“直径”.

21. 难度：中等

某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于,则销售5000件;若气温位于,则销售3500件;若气温低于,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:

气温范围 (单位:)
天数	4	14	36	21	15

以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.

(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;

(2)设8月份一天销售这种食品的利润为(单位:元),当8月份这种食品一天生产量(单位:件)为多少时,的数学期望值最大,最大值为多少

22. 难度：中等

已知函数为反比例函数,曲线在处的切线方程为.

（1）求的解析式;

（2）判断函数在区间内的零点的个数,并证明.