2018届上海市高三上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

函数的最小正周期是______．

2. 难度：简单

若，且，则         ；

3. 难度：简单

等比数列中，，则公比_________

4. 难度：简单

在中，若，则_________

5. 难度：简单

已知复数满足，则_____________．

6. 难度：简单

在中，已知，则_________

7. 难度：中等

已知定义在上的函数，满足，且对任意的都有，则_________

8. 难度：中等

把本书随机地排在书架上，则其中指定的本书排在一起的概率是_________.（结果用分数表示）

9. 难度：简单

在等差数列中，若，且它的前n项和有最大值，则当取得最小正值时，n的值为_______.

10. 难度：中等

已知函数是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有个零点，则实数的取值范围是_________

11. 难度：中等

已知数列的各项均为正整数，其前项和为，若，且，则_________

12. 难度：困难

已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数.即满足对任意，两点关于点对称.若是关于的对称函数，且恒成立，则实数的取值范围是__________．

二、单选题

13. 难度：中等

已知则是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

14. 难度：简单

、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（    ）

A.如果，，则一定有

B.如果，，则一定有

C.如果，，则一定有

D.如果，，则一定有

15. 难度：中等

设无穷等比数列的各项和为，若数列满足，则数列的各项和为（　　）

A. B. C. D.

16. 难度：中等

设函数的定义域是，对于以下四个命题：

(1) 若是奇函数，则也是奇函数；

(2) 若是周期函数，则也是周期函数；

(3) 若是单调递减函数，则也是单调递减函数；

(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．

其中正确的命题共有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

三、解答题

17. 难度：中等

在三棱锥中，OA、OB、OC所在直线两两垂直，且，CA与平面AOB所成角为，D是AB中点，三棱锥的体积是．

（1）求三棱锥的高；

（2）在线段CA上取一点E，当E在什么位置时，异面直线BE与OD所成的角为？

18. 难度：中等

设函数．

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）设、、为的三个内角，若，，求．

19. 难度：中等

设F₁、F₂分别为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点，点B为椭圆C的上顶点，且|AB|＝，△BF₁F₂为直角三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线y＝kx+2与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求实数k的值．

20. 难度：困难

设数列的前项和为，已知，

（1）设证明数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）若对于一切，都是恒成立，求的取值范围.

21. 难度：困难

若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”．

（1）试判断函数与是否是“L函数”；

（2）若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；

（3）若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有．