2017届上海市高三下学期第三次模拟数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

若复数在复平面上所对应的点在实轴上，则实数______.

2. 难度：简单

设集合，集合，则______.

3. 难度：简单

的二项展开式中项的系数为______.

4. 难度：简单

已知一个铁球的体积为，则该铁球的表面积为________.

5. 难度：简单

若等差数列前项的和为，且，则________

6. 难度：简单

函数的单调递增区间为______

7. 难度：简单

如图，在矩形中，，，以、为焦点的双曲线：恰好过、两点，则双曲线的标准方程为______.

8. 难度：中等

已知等比数列满足，，则的前项积的最大值为______.

9. 难度：中等

若命题“对任意，恒成立”是假命题，则实数的取值范围是_______

10. 难度：简单

将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为，第一次得到的点数记为，则方程组有唯一解的概率是___________．

11. 难度：中等

已知点，，且平行四边形的四个顶点都在函数的图像上，则四边形的面积为______.

12. 难度：困难

已知为的外心，且，若，则的最大值为______.

二、单选题

13. 难度：中等

设，是非零向量，“”是“”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

14. 难度：简单

已知，且，则

A.

B.

C.

D.

15. 难度：中等

已知函数(、、均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（    ）

A.    B.

C. D.

16. 难度：简单

已知，且，则存在，使得成立的构成的区域面积为（     ）

A. B. C. D.

三、解答题

17. 难度：中等

已知下图是四面体及其三视图，是的中点，是的中点.

（1）求四面体的体积；

（2）求与平面所成的角；

18. 难度：中等

已知函数.

（1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围；

（2）设函数，当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.

19. 难度：中等

如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂.

(1) 若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；

(2) 求的最小值．

20. 难度：困难

已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4

（1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程.

（2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上.

（3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

如果存在常数a，使得数列{a_n}满足：若x是数列{a_n}中的一项，则a-x也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．

（1）若数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；

（2）已知有穷等差数列{b_n}的项数是n₀（n₀≥3），所有项之和是B，求证：数列{b_n}是“兑换数列”，并用n₀和B表示它的“兑换系数”；

（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c_n}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．