广东省东莞市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

在中，内角的对边分别为,且，则边（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知实数满足，则目标函数的最大值是（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知数列是等差数列，且，则（    ）

A.3 B.4 C.7 D.8

6. 难度：简单

已知a,b为实数，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（    ）

A.里 B.里 C.里 D.里

8. 难度：简单

如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

已知实数且，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知，为双曲线的左、右焦点，为上异于顶点的点．直线分别与，为直径的圆相切于，两点，则　　

A. B.3 C.4 D.5

二、多选题

11. 难度：中等

四边形内接于圆，，下列结论正确的有（    ）

A.四边形为梯形 B.圆的直径为7

C.四边形的面积为 D.的三边长度可以构成一个等差数列

12. 难度：中等

我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ）

A.为等比数列

B.

C. 轴，且

D.四边形的内切圆过焦点

三、填空题

13. 难度：简单

抛物线上的一点到焦点的距离为2，则点的纵坐标是________.

14. 难度：简单

如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_________.

15. 难度：中等

已知命题“不等式”为真命题，则的取值范围为_______.

16. 难度：中等

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义： ，，，记其前项和为，设（为常数），则______（用表示），______(用常数表示)

四、解答题

17. 难度：中等

已知.

（1）若且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18. 难度：中等

已知等比数列满足，，数列是首项为公差为的等差数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

19. 难度：中等

在中，内角的对边分别为，且.

（1）求角的大小.

（2）若边上的中线，且,求的周长.

20. 难度：中等

如图，已知斜三棱柱中，，在底面上的射影恰为的中点，且.

（1）求证：；  

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.

第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图）.

第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对国贸中心，将镜子前移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.

实际操作中，第一小组测得米，，，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米.

（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）；

（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.

22. 难度：困难

设圆的圆心为，直线l过点且与x轴不重合，l交圆于两点，过点作的平行线交于点.

（1）证明为定值,并写出点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线与曲线交于两点，点为椭圆上一点，若是以为底边的等腰三角形，求面积的最小值.