上海市2017-2018学年高二上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

写出直线的一个方向向量_______________

2. 难度：简单

已知线性方程组的增广矩阵为，则方程组的解用行向量表示为_______________

3. 难度：中等

公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，且.则_______________

4. 难度：中等

若实数，则，则的取值范围是_______

5. 难度：中等

是坐标平面内异于原点的两点，则“”是“”的______________

6. 难度：简单

已知，且，则______________

7. 难度：中等

根据条件将程序框图补充完成：求1到1000内所有奇数的和_______

8. 难度：中等

已知点，点分向量的比是，则向量在向量方向上的投影是______________

9. 难度：困难

已知无穷等比数列的各项和为2，平面内有三个不同点共线，O为坐标原点，且满足等式，则__________

10. 难度：中等

矩阵均算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点，若曲线在矩阵的作用下变换成曲线，则的值为__________

11. 难度：困难

将正分割成个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数的和为，已知，则（用含的式子表达）__________

12. 难度：困难

设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，有下列命题：

（1）关于的方程可能有两个不同的实数解；

（2）关于的方程至少有一个实数解；

（3）关于的方程最多有一个实数解；

（4）关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线；

上述命题正确的序号是__________

二、单选题

13. 难度：简单

直线的倾斜角是（    ）

A. B. C. D.

14. 难度：中等

设是单位向量，且，则的最小值为

A. B. C. D.

15. 难度：困难

已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数满足考察下列结论：

①；

②为偶函数；

③数列为等比数列；

④数列为等差数列．

其中正确的结论是

A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④

16. 难度：困难

已知是所在平面内一点，且满足，则点是的（    ）

A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心

三、解答题

17. 难度：中等

设分别是的三边，行列式.

（1）求字母的代数余子式的展开式；

（2）若（1）的值为0，判断直线与的位置关系.

18. 难度：中等

已知直线的方程为，其倾斜角为.

（1）写出关于的函数解析式；

（2）若，求的取值范围.

19. 难度：困难

已知为线段（所在的直线）外一个定点，记

（1）若是线段的三等分点，试用表示；

（2）若线段上有若干个等分点，能得到什么结论？请证明你的结论.（注：根据结论的一般性程度予以不同得分）

20. 难度：困难

把一系列向量按次序排成一排，称之为向量列，记作，向量列满足：

（1）求数列的通项公式；

（2）设表示向量间的夹角，为与轴正方向的夹角，若，求.

（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项，若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

已知阶方阵中的各元素均为正数，其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列，已知.

（1）求和的值；

（2）计算行列式和；

（3）设，证明：当是3的倍数时，能被21整除.