广东省广州市荔湾区2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知向量，，且，则（    ）

A.10 B.10 C.4 D.4

3. 难度：简单

双曲线的焦距为（ ）

A.10 B. C.2 D.5

4. 难度：简单

设命题：，都有，则为（    ）

A.，使 B.，都有

C.，使 D.，都有

5. 难度：简单

若为实数，则下列命题正确的是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，，则 D.若，，则

6. 难度：简单

已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：简单

在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知各项均为正数的数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为5，则（    ）

A.29 B.31 C.33 D.35

9. 难度：中等

命题“若是等比数列，则（且）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

10. 难度：简单

双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若,则的面积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：简单

为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

在三棱锥中，，，平面平面，点在棱上，且与平面所成角的正弦值为，则（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知实数满足约束条件，则的最大值为__________．

14. 难度：简单

某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________．

15. 难度：简单

已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________．

16. 难度：简单

如图，平行六面体中，,,则__________．

三、解答题

17. 难度：中等

记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，.

（1）求的通项公式；

（2）求的最大值及对应的大小.

18. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点，抛物线的焦点为，准线为.

（1）求抛物线的方程；

（2）过且斜率为的直线与抛物线相交于两点、，过、分别作准线的垂线，垂足分别为、，求四边形的面积.

19. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面是菱形，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

数列的前项和为，且，数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）设数列满足，其前项和为，证明：.

21. 难度：困难

如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

22. 难度：中等

已知函数.

（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；

（2）设，若不等式对都成立，求实数的取值范围；

（3）若且时，求函数的零点.