新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学理试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数z满足（其中i为虚数单位），则（    ）

A.2 B.3 C. D.4

3. 难度：简单

已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（  ）

A.若，则

B.若，则

C.若，且，则

D.若，且，则

4. 难度：简单

设，则有（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知向量满足，且与夹角为，则（  ）

A.-3 B.-1 C.1 D.3

6. 难度：简单

已知双曲线的左、右焦点分别为，B为虚轴的一个端点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.2 B. C. D.

7. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，则输出的(  )

A.3 B.4 C.5 D.6

8. 难度：简单

从这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

等比数列的前项和为，且、、成等差数列，若，则（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

将奇函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调减区间为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知抛物线C：的焦点F，点是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线交于A、B两点（A在B的上方），若，则抛物线C的方程为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

若，满足约束条件，则的最大值为_____________．

14. 难度：简单

已知为锐角，则___________

15. 难度：中等

已知数列满足：（），若，则         .

16. 难度：中等

如图，已知在长方体中，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：

①四棱锥的体积为；

②存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值；

③当点不与，重合时，在棱上均存在点，使得平面

④存在唯一一点，使得平面，且

其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）

三、解答题

17. 难度：简单

的内角所对的边分别为，且.

（1）求；

（2）若，求面积的最大值.

18. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面，，为的中点

（1）证明：平面

（2）若是边长为2的等边三角形，求二面角的余弦值

19. 难度：简单

“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x亿件：精确到0.1）及其增长速度（y%）的数据

（1）试计算2012年的快递业务量；

（2）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t：1，2，3，4，5；现已知y与t具有线性相关关系，试建立y关于t的回归直线方程；

（3）根据（2）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量

附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：，

20. 难度：中等

已知椭圆C：过点，左焦点 

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F作于x轴不重合的直线l，l与椭圆交于A，B两点，点A在直线上的投影N与点B的连线交x轴于D点，D点的横坐标是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由

21. 难度：困难

已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线，直线的参数方程为（t为参数），其中，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；

（2）设，的极坐标方程，A，B分别为直线与曲线异于原点的公共点，当时，求直线的斜率；

23. 难度：中等

函数

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且实数满足，求证：