湖南省郴州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知，则复数（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

设等差数列的前项和为，已知，则（    ）

A.24 B.20 C.16 D.18

4. 难度：简单

若，则下列命题正确的个数（    ）

①；②；③；④

A.0 B.1 C.2 D.3

5. 难度：简单

明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（    ）

A.3盏灯 B.192盏灯 C.195盏灯 D.200盏灯

6. 难度：简单

已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（    ）

A.10 B.20 C. D.

7. 难度：中等

在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（    ）

A.或 B. C. D.或

8. 难度：中等

若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（    ）

A. B. C. D.2

9. 难度：简单

已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（    ）

A.3 B.2 C. D.

10. 难度：中等

对于函数，，下列说法正确的有（    ）

①在处取得极大值；

②有两个不同的零点；

③；

④在上是单调函数.

A.个 B.个 C.个 D.个

二、填空题

11. 难度：简单

已知，，，则_______.

12. 难度：简单

已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_______.

13. 难度：简单

平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为__________.

14. 难度：中等

已知数列的前项和为，若，则__________.

15. 难度：中等

已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为__________.

三、解答题

16. 难度：中等

已知在中，角所对的边分别为，且，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积.

17. 难度：中等

已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.

（1）求数列的通项公式，并求；

（2）设，求数列前项和.

18. 难度：中等

如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.

20. 难度：中等

已知函数（其中为自然对数的底数，）.

（1）若是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；

（2）若时都有，求实数的取值范围.