上海市2015-2016学年高二下学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

复数的虚部是________.

2. 难度：简单

若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为          ．

3. 难度：简单

已知平面平面，直线，直线，点，点，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a、b、c的大小关系是________________________.

4. 难度：中等

设A、B是平面同侧的两点，点，OA、OB都是平面的斜线，射线OA、OB在内的射影分别是射线、，若，则________是（填“锐角”、“直角”或“钝角”）.

5. 难度：中等

在复平面内，到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹方程是________.

6. 难度：中等

在正方体中，M为棱的中点，则异面直线AM与所成的角的大小为________（结果用反三角函数值表示）.

7. 难度：中等

已知实数x和复数m满足，则的最小值是________.

8. 难度：简单

正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____；

9. 难度：中等

若半径为10的球面上有A、B、C三点，且，则球心O到平面ABC的距离为___________.

10. 难度：中等

在地球表面上，地点A位于东经，北纬，地点B位于西经，南纬，则A、B两点的球面距离是________（设地球的径为R）.

11. 难度：困难

在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，且，，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是________.

12. 难度：中等

小明研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题:在三棱锥中，已知，(如图)，设二面角大小为，其中是一个与有关的代数式，请写出符合条件的_________.

二、单选题

13. 难度：简单

从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是

A.30° B.45° C.60° D.90°

14. 难度：中等

对于复数（为虚数单位），定义，给出下列命题：①对任何复数z，都有，等号成立的充要条件是；②：③若，则：④对任何复数，不等式恒成立，其中真命题的个数是（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

15. 难度：中等

下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外.其中错误命题的个数是（　　）

A.1 B.2 C.3 D.4

16. 难度：中等

相同正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体某面平行，各顶点均在正方体表面上(如图)，该八面体体积的可能值有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

三、解答题

17. 难度：中等

（1）在复数范围内解方程：（i为虚数单位）；

（2）设系数为整数的一元二次方程的两根恰为（l）中方程的解，求的最小值；

18. 难度：中等

如图，AB是圆柱的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与点B、C重合的任意一点，：

（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；

（2）求点B到平面ACD的距离；

（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由旋转而成的封闭几何体的体积；

19. 难度：困难

如图，在直四棱柱中，，：

（1）求证：平面；

（2）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式；（直接写出答案，不必说明理由）

20. 难度：中等

在四面体A-BCD中，有两条棱的长为，其余棱的长度都为1；

（1）若，且，求二面角A-BC-D的余弦值；

（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的；