2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数，，则复数的虚部为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知函数，则在处的切线方程为（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

设x，y满足约束条件，则的最大值是（    ）

A.2 B.6 C.10 D.14

5. 难度：简单

已知函数，则函数的最小正周期是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

若输入x的值为7.则输出结果为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）中，P，E，F分别是，，AC的中点.则四棱锥的体积为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（    ）

A.2 B. C.3 D.

9. 难度：中等

展开式中含x的项的系数为（    ）

A.-112 B.112 C.-513 D.513

10. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知三棱锥中，平面ABC，，，若三棱锥外接球的表面积为，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知定义在R上的奇函数恒有，当时，，则当函数在上有三个零点时，k的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知在平行四边形中，，则_______.

14. 难度：简单

已知是第四象限角，且满足，则___________

15. 难度：中等

一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________.

16. 难度：困难

已知抛物线的准线为l，过点作斜率为正值的直线l交C于A，B两点，AB的中点为M.过点A，B，M分别作x轴的平行线，与l分别交于D，E，Q，则当取最小值时，________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列的前n项和为，.

（1）求及数列的通项公式；

（2）若，，求数列的前n项和.

18. 难度：中等

某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.

（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.

①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：

②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）

19. 难度：中等

如图1所示，在直角梯形DCEF中，，，，，将四边形ABEF沿AB边折成图2.

（1）求证：平面DEF；

（2）若，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值.

20. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线上与C交于A，B两点，是否存在l，使得点在以AB为直径的圆外.若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

已知，.

（1）讨论的单调区间；

（2）当时，证明：.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.