重庆市校2019-2020学年高二上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

经过点与的直线方程为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，直线过抛物线的焦点，则抛物线方程为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

若表示面积为的圆的方程，则实数的值为（   ）

A.2 B. C.1 D.

4. 难度：简单

方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知双曲线C：的离心率为，则点(3，0)到双曲线C渐近线的距离为（   ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知圆与圆相交，则实数a的取值范围是（    ）

A. B.

C.或  D.或

7. 难度：简单

已知抛物线，若过点的直线与抛物线交于A、B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则p的值为（    ）

A.2 B.4 C.7 D.与直线AB的斜率有关

8. 难度：简单

方程对应的曲线为（     ）

A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.射线

9. 难度：简单

下列命题错误的是（　　　　）

①与表示的是同一条抛物线

②所有过原点的直线都可设为；

③若方程表示圆，则必有

④椭圆的短轴长为

A. B. C. D.

10. 难度：简单

为迎接祖国“70岁”生日，某画家准备在一个外形为半个椭圆的墙面上开辟一个矩形墙面作画，如图，已知米，米，，则该画家能够作画的最大面积是（     ）

A.10平方米 B.平方米

C.15平方米 D.平方米

11. 难度：简单

已知，点P为抛物线上一动点，点P到直线的距离是，则的最小值为（     ）

A. B. C. D.3

12. 难度：中等

双曲线C：左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，B为虚轴的上顶点，若直线上存在两点使得，且过双曲线的右焦点作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则双曲线离心率的范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

直线的倾斜角为__________．

三、解答题

14. 难度：简单

经过点，，的圆的方程为__________．

四、填空题

15. 难度：简单

过点P(2，4)作两条互相垂直的直线，若交x轴于A点，交y轴于B点，若点M是线段AB上的点，且满足，则点M的轨迹方程是__________．

16. 难度：简单

已知方程的图像是双曲线，且该双曲线的渐近线分别是直线，则双曲线的焦距为__________．

五、解答题

17. 难度：简单

已知直线，．

(1)若，求实数a的值；

(2)点关于直线l₁的对称点Q在直线l₂上，求实数a的值．

18. 难度：中等

已知点F是椭圆C：的右焦点，且其短轴长，若点满足(其中点O为坐标原点)．

(1)求椭圆的方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点B，若点P是线段BQ的中点，求该直线方程；若，求实数a的值；

19. 难度：中等

已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且双曲线C过点．

(1)若双曲线C的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，使得，求△的面积；

(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若△的周长是，求直线l的方程．

20. 难度：中等

若圆的内接矩形的周长最大值为．

(1)求圆O的方程；

(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．

21. 难度：困难

已知抛物线E：焦点F，过点F且斜率为2的直线与抛物线交于A、B两点，且．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设O是坐标原点，P，Q是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且

①证明：直线PQ必过定点，并求出定点G的坐标；

②过G作PQ的垂线交抛物线于C，D两点，求四边形PCQD面积的最小值．

22. 难度：困难

已知圆，A为圆O₁上任意一点，点D在线段上．，已知，．

(1)求点D的轨迹方程H；

(2)若直线与方程H所表示的图像交于E，F两点，是椭圆上任意一点．若OG平分弦EF，且，，试判断四边形OEGF形状并证明．