2020届安徽省池州市高三上学期期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

如图所示，中，，半圆O的直径在边BC上，且与边AB，AC都相切，若在内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆O内）的概率为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

将函数的图象向左平移后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，若的解析式为，则的解析式为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

函数的定义域为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（    ）

A. B.2 C.3 D.4

7. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（    ）

A.最小长度为8 B.最小长度为 C.最大长度为8 D.最大长度为

9. 难度：中等

若，则（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

若,则(     )

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（   ）

A.若为的外心，则

B.若为等边三角形，则

C.当时，与平面所成角的范围为

D.当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为

12. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且，则直线AB的斜率为（    ）

A.或 B.或 C.2 D.

二、填空题

13. 难度：简单

等腰直角三角形ABC中，，则有________.

14. 难度：简单

的值为________.

15. 难度：中等

数列的最大项所在的项数为________.

16. 难度：简单

已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，则球O的表面积为________.

三、解答题

17. 难度：简单

已知等比数列各项均为正数，是数列的前n项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

18. 难度：简单

如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.

（1）求b和；

（2）如图，设D为AC边上一点，，求的面积.

19. 难度：中等

如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且.

（1）求证：平面平面ABC；

（2）求二面角D-CE-F的余弦值.

20. 难度：中等

高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中a，b，c成等差数列且.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）

分组
频数	6	9	20	10	5

（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；

（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；

（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值.

21. 难度：中等

已知函数，为的导函数.

（1）求在处的切线方程；

（2）求证：在上有且仅有两个零点.

22. 难度：中等

已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.