2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若，则的虚部为（    ）

A.－1 B.1 C. D.

3. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则（    ）

A.1 B. C. D.2

4. 难度：中等

由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

函数f（x）＝（x²﹣2x）e^x的图象可能是（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：简单

已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知，为实数，则，是的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

已知随机变量，的分布列如下表所示，则（    ）

	1	2	3

	1	2	3

A.， B.，

C.， D.，

9. 难度：中等

在中，若，则（    ）

A.1 B. C. D.

10. 难度：中等

在矩形中，已知，，是边上的点，，，将平面绕旋转后记为平面，直线绕旋转一周，则旋转过程中直线与平面相交形成的点的轨迹是（    ）

A.圆 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线

11. 难度：困难

已知函数，e是自然对数的底数，存在（）

A.当时，零点个数可能有3个

B.当时，零点个数可能有4个

C.当时，零点个数可能有3个

D.当时，零点个数可能有4个

12. 难度：困难

已知数列的前项和为，且满足，则下列结论中（    ）

①数列是等差数列；②；③

A.仅有①②正确 B.仅有①③正确 C.仅有②③正确 D.①②③均正确

二、填空题

13. 难度：中等

1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”.1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果.若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是________.

14. 难度：困难

已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______

15. 难度：中等

已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为________.

16. 难度：困难

设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的最小正周期与单调递增区间.

18. 难度：困难

如图，是由两个全等的菱形和组成的空间图形，，∠BAF＝∠ECD＝60°.

（1）求证：；

（2）如果二面角B－EF－D的平面角为60°，求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：困难

已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：，.

20. 难度：中等

已知抛物线：，焦点为，准线与轴交于点.若点在上，横坐标为2，且满足：.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线交轴于点，过点做直线，与抛物线有两个交点，（其中，点在第一象限）.若，当时，求的取值范围.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）若方程有两个实数根，，且，证明.

22. 难度：中等

（1）以极坐标系的极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程化成直角坐标方程.

（2）在直角坐标系中，直线：（为参数），曲线：（为参数），其中.若曲线上所有点均在直线的右上方，求的取值范围.

23. 难度：中等

已知正数，，满足.

（1）求证：；

（2）求的最小值.