上海市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

设直线l：x+y﹣2＝0的倾斜角为α，则α的大小为_____．

2. 难度：简单

已知复数z满足（1+2i）•（1+z）＝﹣7+16i，则z的共轭复数_____．

3. 难度：简单

在3男2女共5名学生中随机抽选3名学生参加某心理评测，则抽中的学生全是男生的概率为_____．（用最简分数作答）

4. 难度：简单

在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，二面角A﹣BD﹣A₁的大小为_____．

5. 难度：简单

在半径为1的球面上，若A，B两点的球面距离为，则线段AB的长|AB|＝_____．

6. 难度：简单

双曲线H的渐近线为x+2y＝0与x﹣2y＝0．若H经过点P（2，0），则双曲线H的方程为_____．

7. 难度：简单

设圆x²+y²＝1上的动点P到直线3x+4y﹣10＝0的距离为d，则d的最大值为_____．

8. 难度：简单

若一组数据x₁，x₂，x₃，…，x_n的总体方差为3，则另一组数据2x₁，2x₂，2x₃，…，2x_n的总体方差为_____．

9. 难度：简单

空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为_____．（写出一个方向向量的坐标）

10. 难度：简单

四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的夹角为_____．

11. 难度：简单

若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2，则|z|的最小值为_____．

12. 难度：简单

关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（guldin）定理：“平面上一区域D绕区域外一直线（区域D的每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于D的面积与D的几何中心（也称为重心）所经过的路程的乘积”．利用这一定理，可求得半圆盘，绕直线x旋转一周所形成的空间图形的体积为_____．

二、单选题

13. 难度：简单

若一圆柱的侧面积等于其表面积的，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（    ）

A.1：1 B.2：1 C.3：1 D.4：1

14. 难度：简单

已知，∈C．“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

15. 难度：简单

参数方程（θ∈R）表示的曲线是（    ）

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

16. 难度：中等

设集合，那么集合中满足条件的元素个数为(    )

A.60 B.90 C.120 D.130

三、解答题

17. 难度：中等

已知m是实数，关于x的方程E：x²﹣mx+（2m+1）＝0．

（1）若m＝2，求方程E在复数范围内的解；

（2）若方程E有两个虚数根x₁，x₂，且满足|x₁﹣x₂|＝2，求m的值．

18. 难度：中等

已知椭圆E的方程为y²＝1，其左焦点和右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆E上位于第一象限的一点

（1）若三角形PF₁F₂的面积为，求点P的坐标；

（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，求d的最小值．

19. 难度：中等

设λ是正实数，（1+λx）²⁰的二项展开式为a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀x²⁰，其中a₀，a₁，…，a₂₀ ，…，均为常数

（1）若a₃＝12a₂，求λ的值；

（2）若a₅≥a_n对一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范围．

20. 难度：中等

如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝m，点M是棱CD的中点．

（1）求异面直线B₁C与AC₁所成的角的大小；

（2）是否存在实数m，使得直线AC₁与平面BMD₁垂直？说明理由；

（3）设P是线段AC₁上的一点（不含端点），满足λ，求λ的值，使得三棱锥B₁﹣CD₁C₁与三棱锥B₁﹣CD₁P的体积相等．

21. 难度：中等

设抛物线Γ的方程为y²＝4x，点P的坐标为（1，1）．

（1）过点P，斜率为﹣1的直线l交抛物线Γ于U，V两点，求线段UV的长；

（2）设Q是抛物线Γ上的动点，R是线段PQ上的一点，满足2，求动点R的轨迹方程；

（3）设AB，CD是抛物线Γ的两条经过点P的动弦，满足AB⊥CD．点M，N分别是弦AB与CD的中点，是否存在一个定点T，使得M，N，T三点总是共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．