2020届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测文科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合,,则(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数z满足,则(    )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知非零向量满足,且,则与的夹角为(    )

A. B. C. D.

4. 难度：简单

中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走378里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少(    )里.

A. B. C. D.

5. 难度：中等

现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知函数,满足,且在内恰有一个最大值点和一个最小值点,则的值为(    )

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知双曲线的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,若,,则此双曲线渐近线方程为(    )

A. B. C. D.

8. 难度：简单

某几何体三视图如图所示,其体积为,则该几何体的外接球体积为(    )

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知等差数列,,数列满足,则(    )

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知是偶函数,当时,,若,则的取值范围是(    )

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知椭圆的左顶点和左焦点分别为和,,直线交椭圆于两点(在第一象限),若线段的中点在直线上,则该椭圆的方程为(    )

A. B.

C. D.

12. 难度：中等

已知,当时,在上(    )

A.有最大值没有最小值 B.有最小值没有最大值

C.既有最大值也有最小值 D.既无最大值也无最小值

二、填空题

13. 难度：简单

若变量满足,且,则的最大值是_____．

14. 难度：简单

某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出(单位:万元)与年销售额(单位:万元)进行了初步统计,如下表所示.

年广告支出/万元	2	3	5	7	8
年销售额/万元	28	37		60	70

经测算,年广告支出与年销售额满足线性回归方程,则的值为_____.

15. 难度：中等

已知数列的前项和为,,,则_____．

16. 难度：简单

如图,点在正方体的棱上(不含端点),给出下列五个命题:

①过点有且只有一条直线与直线,都是异面直线;

②过点有且只有一条直线与直线,都相交;

③过点有且只有一条直线与直线,都垂直;

④过点有无数个平面与直线,都相交;

⑤过点有无数个平面与直线,都平行;

其中真命题是____．

三、解答题

17. 难度：简单

某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.

(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);

(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.

18. 难度：中等

已知的内角的对边分别为.已知.

(1)求的取值范围;

(2)当取最大值时,若,求的面积.

19. 难度：中等

在直角坐标系中,抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点.

(1)求的值;

(2)若点在线段(不含端点)上运动,,求四边形面积的最小值.

20. 难度：中等

如图,四棱锥中,底面是菱形,平面,,是上一动点.

（1）求证:平面平面;

（2）若,三棱锥的体积为,求四棱锥的侧面积.

21. 难度：中等

已知函数,其中.

（1）当时,求的最小值;

（2）若在上单调递增,则当时,求证:.

22. 难度：中等

平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数）,在以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,点在射线上,且点到极点的距离为.

（1）求曲线的普通方程与点的直角坐标;

（2）求的面积.

23. 难度：中等

设函数.

（1）若函数有零点,求实数的取值范围;

（2）记（1）中实数的最大值为,若,均为正实数,且满足,求的最小值.