江西省宜春市2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列说法中正确的是（    ）

A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法

B.线性回归直线不一定过样本中心

C.若一个回归直线方程为，则变量每增加一个单位时，平均增加3个单位

D.若一组数据2，4，，8的平均数是5，则该组数据的方差也是5

2. 难度：简单

甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（   ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

3. 难度：中等

设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，

∠=，则C的离心率为（ ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=

A.4 B. C.8 D.

6. 难度：中等

已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：

①，；②，，；

③，；④，，

其中正确命题的序号是（    ）

A. ①④    B. ②④    C. ①③    D. ②③

7. 难度：简单

执行如图所示的流程图，若输出的，则输入整数的最小值是（    ）

A.3 B.7 C.15 D.31

8. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（    ）

A. B. C. D.2

9. 难度：简单

中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术；蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息，现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （ ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面，则四面体中，下列结论不正确的是（    ）

A.平面

B.异面直线与所成的角为

C.异面直线与所成的角为

D.直线与平面所成的角为

12. 难度：中等

已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”

14. 难度：简单

已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为___．

15. 难度：中等

    已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则

①棱AB与PD所在直线垂直；

②平面PBC与平面ABCD垂直；

③△PCD的面积大于△PAB的面积；

④直线AE与直线BF是异面直线．

以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

16. 难度：中等

在三棱锥中，正三角形中心为，边长为，面，垂足为的中点，与平面所成的角为45°.若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知圆，直线.

（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；

（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程.

18. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点，分别是棱，的中点.

（1）证明：平面平面.

（2）求三棱锥的体积.

19. 难度：简单

某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

表中，.

（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；

（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，

20. 难度：中等

2019年的天猫“双11”交易金额又创新高，达到2684亿元，物流爆增.某机构为了了解网购者对收到快递的满意度进行调查，对某市5000名网购者发出满意度调查评分表，收集并随机抽取了200名网购者的调查评分（评分在70～100分之间），其频率分布直方图如图，评分在95分及以上确定为“非常满意”.

（1）求的值；

（2）以样本的频率作概率，试估计本次调查的网购者中“非常满意”的人数；

（3）按分层抽样的方法，从评分在90分及以上的网购者中抽取6人，再从这6人中随机地选取2人，求至少选到一个“非常满意”的概率.

21. 难度：中等

在三棱柱，中，已知，，点在底面的射影恰好是线段的中点.

（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；

（2）求三棱柱的侧面积

22. 难度：困难

已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为下顶点，是面积为1的直角三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2），是过点且互相垂直的两条直线，其中交椭圆于另一个点，交椭圆于另一个点，是否存在定点，使直线恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.