广东省惠州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若复数（其中为虚数单位），则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设命题，则为（ ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

已知双曲线方程为，则其渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

设，“”是“复数是纯虚数”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为(    )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

在正方体中，点E为上底面A₁C₁的中心，若，则x，y的

值是（  ）

A.， B.，

C.， D.，

7. 难度：中等

已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

定长为3的线段的两个端点在抛物线上移动，为线段的中点，则点到轴的最短距离为(    )

A. B.1 C. D.2

10. 难度：困难

若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

二、多选题

11. 难度：简单

不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是（    ）.

A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张红色

C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色

12. 难度：困难

若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是（    ）

A.若为椭圆，则 B.若是双曲线，则其离心率有

C.若为双曲线，则或 D.若为椭圆，且长轴在轴上，则

三、填空题

13. 难度：简单

空间向量，，若，则___________．

14. 难度：中等

已知两个事件和互斥，记事件是事件的对立事件，且，，则_____________．

15. 难度：困难

定义域为的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为 _____________．

16. 难度：中等

椭圆上的一点到两焦点的距离的乘积为，则的最大值为__________，此时点的坐标为_________．

四、解答题

17. 难度：中等

已知函数的定义域为，关于的不等式（其中）的解集为．

（1）求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求实数的值；

（2）求函数在上的最大值．

19. 难度：中等

惠州市某学校需要从甲、乙两名学生中选1人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的分数，统计结果如下表：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲	80	85	71	92	87
乙	90	76	75	92	82

（1）若从甲、乙两人中选出1人参加数学竞赛，你认为选谁合适？请说明理由.

（2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中答题方案如下：

每人从5道备选题中随机抽取3道作答，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.假设被选中参赛的学生只会5道备选题中的3道，求该学生能进人复赛的概率.

20. 难度：中等

矩形中， ， ，点为中点，沿将折起至，如下图所示，点在面的射影落在上.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

21. 难度：中等

已知椭圆与抛物线y²＝x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求△AOB的面积．

22. 难度：困难

已知函数，.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.