甘肃省兰州市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列命题中,正确命题的个数为(　　)

①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“若，则”的否命题；

③“正三角形的三个角均为”的逆否命题．

A. B. C. D.

2. 难度：简单

命题“且的否定形式是（ ）

A.且

B.或

C.且

D.或

3. 难度：简单

抛物线y＝4x²的焦点到准线的距离为（    ）

A.2 B.1 C.  D.

4. 难度：简单

已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

若，则方程表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是(　　)

A. B.

C.或 D.

6. 难度：简单

若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为，则这个椭圆的方程为(　　)

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

的一个必要不充分条件是（  ）

A.  B.

C.  D.

8. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，周长的最小值为

A.8 B.10 C. D.

9. 难度：简单

在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则（    ）

A.0 B. C. D.

10. 难度：简单

不等式的解集记为，关于的不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知直线l的斜率为k，它与抛物线y²＝4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，，则|k|＝(　　)

A.2 B. 

C. D.

12. 难度：中等

已知点为双曲线，的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是　　

A. B.， C.， D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，且，则________．

14. 难度：中等

若点O和点F分别为椭圆的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为________．

15. 难度：简单

我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余税金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为__________．

16. 难度：简单

过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为         ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题： 函数在上单调递增，命题： 对函数，恒成立．若为真，为假，求的取值范围．

18. 难度：中等

如图，直三棱柱中，分别是的中点，．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值．

19. 难度：中等

已知抛物线过点．

(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；

(2)若平行于(为坐标原点)的直线与抛物线相交于两点，且3，求的面积．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

21. 难度：困难

已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆C：的两个焦点分别为，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3，2)，记直线AN、BN的斜率分别为k₁、k₂,求证：k₁+k₂为定值．