2020届河南省许昌市高三年级第一次质量检测理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，集合，则（  ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知,则(    )

A.  B. C. D.

3. 难度：简单

某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：

产量(万件)	2	3	4
单位成本(元件)	3	a	7

现根据表中所提供的数据,求得关于的线性回归方程为,则值等于(    )

A. B. C. D.

4. 难度：中等

在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（  ）

A.32 B.31 C.30 D.29

6. 难度：中等

若直线与曲线相切，则（  ）

A.3 B. C.2 D.

7. 难度：中等

我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图像的特征，已知函数的图像如图所示，则函数的解析式可能是(    )

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

已知程序框图如图所示，则输出的(    )

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知斜率为的直线l经过双曲线的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是（    ）

A.0 B. C. D.1

11. 难度：中等

设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（   ）

A. 290 B.  C.  D.

12. 难度：中等

已知函数，若关于的方程由5个不同的实数解，则实数的取值范围是（     ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知,则＝_____．

14. 难度：简单

在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为______．

15. 难度：中等

已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为______．

16. 难度：中等

中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数．

(Ⅰ)当时，求函数的值域；

(Ⅱ)的内角所对的边分别为，且，求的面积．

18. 难度：中等

如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，为中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

19. 难度：中等

由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课，每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A、B两个地区的100名观众，得到如表的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为．

	非常满意	满意	合计
A	30	15
B
合计

完成上述表格并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；

若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望．

附：参考公式：．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点 在椭圆C上．

求椭圆C的方程；

设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．

21. 难度：中等

已知函数．

讨论函数的单调性；

若函数图象过点，求证：．

22. 难度：简单

在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),其中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程;

（2）已知曲线与曲线交于两点,点,求的取值范围.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）当，时，求不等式的解集；

（2）若，，的最小值为2，求的最小值.