2020届广东省、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考理科数学

一、单选题

1. 难度：简单

集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

原命题为“若互为共轭复数，则”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（    ）

A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假

3. 难度：简单

已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.-2

4. 难度：简单

平面∥平面的一个充分条件是（ ）

A.存在一条直线，∥，∥

B.存在一条直线，⊂，∥

C.存在两条平行直线，，⊂，⊂，∥，∥

D.存在两条异面直线，，⊂，⊂，∥，∥

5. 难度：中等

函数零点的个数是 （ ）

A.5 B.4 C.3 D.2

6. 难度：简单

已知函数（，为常数，，）在处取得最大值，则函数是（    ）

A.奇函数且它的图象关于点对称 B.偶函数且它的图象关于点对称

C.奇函数且它的图象关于对称 D.偶函数且它的图象关于对称

7. 难度：简单

已知函数的图象连续且在上单调，又函数的图象关于轴对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2019项之和为（    ）

A.0 B.2019 C.4038 D.4040

8. 难度：中等

函数在上的单调减区间为（    ）

A.和 B.和

C.和 D.

9. 难度：中等

    函数f(x)＝的值域为(　　)

A.[－,] B.[－,0]

C.[0,1] D.[0,]

10. 难度：简单

已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：简单

是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（ ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

若正四面体SABC的面ABC内有一动点P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是

A.一条线段 B.一个点 C.一段圆弧 D.抛物线的一段

二、填空题

13. 难度：中等

在区间上分别任取两个数，，若向量，，则满足的概率是______ .

14. 难度：简单

已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.

15. 难度：中等

已知随机变量，，若，，则__________．

16. 难度：中等

在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，当取最大值时，角的值为______.

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列满足：，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式.

18. 难度：中等

某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．

（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；

（2）用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点.

（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；

（Ⅱ）设，求二面角大小的取值范围.

20. 难度：困难

已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.

21. 难度：困难

已知函数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由.

22. 难度：中等

已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，分别与曲线交于三点（不包括极点）.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)当时，若两点在直线上，求与的值.

23. 难度：中等

已知函数.

(Ⅰ)若，求实数的取值范围；

(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.