2020届广东省中山市高三上学期期末数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

集合，，则（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

已知是虚数单位，复数满足，则（    ）

A. B. C. D.5

3. 难度：简单

计算的结果为（   ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

“”是直线与圆相切的（   ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（    ）

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

6. 难度：中等

若,则(     )

A. B. C. D.

7. 难度：中等

下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（    ）

A.2018年3月的销售任务是400台

B.2018年月销售任务的平均值不超过600台

C.2018年第一季度总销售量为830台

D.2018年月销售量最大的是6月份

8. 难度：简单

已知满足不等式组则的最小值为（  ）

A.2 B. C. D.1

9. 难度：简单

已知函数的最小正周期是，若，则（    ）

A. B. C.1 D.-1

10. 难度：困难

我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（    ）

A.9 B.12 C.16 D.18

12. 难度：困难

已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则：__________.

14. 难度：简单

如图所示，已知正方形，以对角线为一边作正，现向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为__________．

15. 难度：中等

已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_____.

16. 难度：困难

已知函数，若有，则实数的取值范围是__________．

三、解答题

17. 难度：中等

设为数列的前项和，已知，.

（1）证明为等比数列；

（2）判断，，是否成等差数列？并说明理由.

18. 难度：中等

为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限（单位：小时） 如下：

248  256  232  243  188  268  278  266  289  312

274  296  288  302  295  228  287  217  329  283

分组	频数	频率	频率/组距
总计			0.05

（1）完成频率分布表，并作出频率分布直方图；

（2）估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；

（3）用组中值（同一组中的数据在该组区间的中点值）估计样本的平均无故障连续使用时限.

19. 难度：困难

已知的三个内角，，所对的边分别为，，.

（1）若，求；

（2）若，试判断的形状.

20. 难度：中等

如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D₁—ABCE，其中平面D₁AE⊥平面ABCE.

(1)证明：BE⊥平面D₁AE；

(2)设F为CD₁的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D₁AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的最小值；

（2）若都有，求证：.

22. 难度：简单

在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的参数方程;

(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）若不等式的解集，求实数的值.

（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.