第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用

一、单选题

1. 难度：中等

一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移与时间的函数关系式是，其中是重力加速度，当小球摆动的周期是时，线长等于 (    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（ ）

A.，

B.，

C.，

D.，

二、填空题

4. 难度：简单

在电流强度与时间的关系中，要使t在任意的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值，则正整数的最小值为________.

5. 难度：简单

如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要_______往返一次.

三、单选题

6. 难度：中等

车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆／分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ）

A. [0，5] B. [5，10] C. [10，15] D. [15，20]

7. 难度：简单

如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（    ）

A.5 B.6 C.8 D.10

8. 难度：简单

下表是某市近30年来月平均气温（℃）的数据统计表：

月份	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
月平均气温			2.2	9.3	15.1	20.3	22.8	22.2	18.2	11.9	4.3

则适合这组数据的函数模型是（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：简单

据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为(    )

A.

B.

C.

D.

四、填空题

10. 难度：简单

下图为2018年某市某天6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数的半个周期的图象，则该天8时的温度大约为_______.

五、解答题

11. 难度：中等

已知某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数.

（1）求该地区这一段时间内温度的最大温差.

（2）若有一种细菌在到之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？

12. 难度：简单

如图，某动物种群数量1月1日（时）低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化.

（1）求出种群数量关于时间的函数表达式（其中以年初以来的月为计量单位）；

（2）估计当年3月1日动物种群数量.

13. 难度：中等

下表是某地某年月平均气温（华氏度）：

月份	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
平均气温	21.4	26.0	36.0	48.8	59.1	68.6	73.0	71.9	64.7	53.5	39.8	27.7

以月份为x轴（月份），以平均气温为y轴.

（1）用正弦曲线去拟合这些数据；

（2）估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；

（3）下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？

①；②；③.

14. 难度：中等

为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

（1）试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数y与月x份之间的关系；

（2）请问哪几个月份要准备400份以上的食物？

六、单选题

15. 难度：困难

如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为（ ）

A. 5米 B. (4＋)米

C. (4＋)米 D. (4＋)米

16. 难度：中等

在地面上同一地点观测远方匀速垂直上升的热气球，在上午10点整热气球的仰角是，到上午10点20分的仰角变成.请利用下表判断到上午11点整时，热气球的仰角最接近哪个度数(   )

	0.5	0.559	0.629	0.643	0.656	0.669	0.682	0.695	0.707
	0.866	0.829	0.777	0.766	0.755	0.743	0.731	0.719	0.707
	0.577	0.675	0.810	0.839	0.869	0.900	0.933	0.966	1.0

A. B. C. D.

17. 难度：简单

电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则t为（秒）时的电流强度为（    ）

A.0 B. C. D.

18. 难度：简单

在两个弹簧上各有一个质量分别为和的小球做上下自由振动，已知它们在时间离开平衡位置的位移和分别由下列两式确定：，.当时，与的大小关系是（    ）

A. B. C. D.不能确定

七、多选题

19. 难度：简单

如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（    ）

A.该质点的运动周期为0.7s

B.该质点的振幅为5

C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零

D.该质点的运动周期为0.8s

E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零

20. 难度：简单

如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（    ）

A.该函数的周期是16

B.该函数图象的一条对称轴是直线

C.该函数的解析式是

D.这一天的函数关系式也适用于第二天

E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃

八、填空题

21. 难度：中等

函数y＝sinωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为____.

22. 难度：简单

一种波的波形为函数的图象，若其在区间上至少有两个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是_________.

23. 难度：简单

某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高，为，12月份的月平均气温最低，为，则10月份的平均气温值为__________．

24. 难度：简单

下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为________.

九、解答题

25. 难度：简单

如图，某地一天从3～15时的温度变化曲线近似满足函数，其中.（参考数据：）

（1）求这段曲线的函数解析式；

（2）计算这天10时的温度是多少.

26. 难度：中等

某海滨浴场一天的海浪高度是时间的函数，记作，下表是某天各时的浪高数据：

	0	3	6	9	12	15	18	21	24
	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

（1）选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度与时间的函数关系；

（2）依据规定，当海浪高度不少于时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据（1）的结论，判断一天内的至之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？

27. 难度：中等

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表：

时刻	0:00	3:00	6:00	9:00	12:00	15:00	18:00	21:00	24:00
水深	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

（1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；

（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米.

①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

②如果该船是货船，在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10:00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？