安徽省合肥市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：

①若，，，则；②若，，则；③若，是异面直线，则存在，，使，，且；④若，不垂直，则不存在，使．

其中正确的命题有（    ）．

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2. 难度：简单

设，则“”是“直线与直线相交”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充他条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ）

A.或 B.或 C.或 D.或

4. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

某正三棱柱各棱长均为，则该棱柱的外接球表面积为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其体积为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

如图所示,点是抛物线的焦点,点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围（     ）

A. B. C. D.

8. 难度：困难

在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点P，Q，R分别为棱AA₁，BC，C₁D₁的中点，经过P，Q，R三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的面积为（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若，且，则抛物线的方程为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

如图，等边的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（    ）

A.动点在平面上的射影在线段上

B.恒有平面⊥平面

C.三棱锥的体积有最大值

D.异面直线与不可能垂直

12. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，若，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

直线关于直线对称的直线方程为________.

14. 难度：简单

已知正四棱锥中，，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为________.

15. 难度：中等

直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_____________.

16. 难度：困难

如图，平面，D为AB的中点，，，P为内的动点，且P到直线CD的距离为，则的最小值为________.

三、解答题

17. 难度：中等

求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；

（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．

18. 难度：中等

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，，，，.

（1）求证：平面FBC；

（2）线段ED上是否存在点Q，使平面平面QBC？证明你的结论.

19. 难度：中等

已知圆心在轴上的圆经过点，截直线所得弦长为，直线.

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆相交于、两点，当为何值时，的面积最大.

20. 难度：中等

如图所示，在五棱锥中，侧面底面，是边长为2的正三角形，四边形为正方形，，且，是的重心，是正方形的中心.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

21. 难度：困难

已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，⊙是以为直径的圆.

（Ⅰ）当⊙的面积为时，求所在直线的方程；

（Ⅱ）当⊙与直线相切时，求⊙的方程；

（Ⅲ）求证：⊙总与某个定圆相切.

22. 难度：中等

已知椭圆C的离心率为，长轴的左、右端点分别为，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于P，Q两点，直线，交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.