人教B版(2019) 必修第四册 逆袭之路 第十章 复数 本章小结

一、解答题

1. 难度：简单

判断下列命题的真假.

（1）实数不是复数；（2）有理数都是复数；

（3）是无理数；（4）不是纯虚数；

（5）的共轭复数是；（6）；

（7）.

2. 难度：简单

求下列各式的值.

（1）；（2）；

（3）；（4）.

3. 难度：简单

已知复数，则

（1）当实数取什么值时，是实数？

（2）当实数在什么范围时，在复平面内对应的点在第二象限？

4. 难度：简单

已知实数满足，求.

5. 难度：简单

分别写出下列各复数的实部与虚部.

（1）；（2）；（3）；（4）.

6. 难度：简单

计算.

7. 难度：简单

化简.

8. 难度：简单

把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数.

9. 难度：简单

设复数满足，求.

10. 难度：简单

当时，用表示平方为且虚部为正的复数.在这样的约定下，数学家欧拉曾经认为.

这个结果对吗？为什么？

二、填空题

11. 难度：简单

设复数满足，则__________．

三、解答题

12. 难度：简单

已知是虚数，分别根据下列条件求.

（1）；（2）.

13. 难度：简单

已知复数满足，其中为虚数单位，求.

14. 难度：简单

设是两个复数，已知，且是纯虚数，求.

15. 难度：简单

已知且，求.

16. 难度：简单

把下列复数化为三角形式.

（1）；

（2）；

（3）.

17. 难度：简单

已知为实数，且，求的值.

18. 难度：简单

计算下列各式的值.

（1）；

（2）；

（3）.

19. 难度：简单

化简下列各式.

（1）；

（2）.

20. 难度：简单

将复数化为三角形式.

21. 难度：简单

若是关于的实系数方程的一个根，求的值.

22. 难度：中等

已知中，，点在上，且用复数证明：.

23. 难度：简单

设是模为1的复数，求的最小值.

四、填空题

24. 难度：简单

下列关于方程的结论中，正确的有_________.

①方程的两根互为共轭复数：②如果方程的两根互为共轭复数，则；③若为方程的一个虚根，则也为方程的根：④若，则方程的两根一定都为正数.

五、解答题

25. 难度：中等

已知复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.

（1）若,向量绕原点逆时针旋转且模变为原来的2倍后与向量重合，求的值.

（2）若，试判断四边形的形状.

26. 难度：困难

如图，分别以的两边为边向外作正三角形及，设交于用复数证明：且.