2020届山东省临沂市高三上学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数，定义.若，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

函数（）的值域是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

的展开式的中间项为（    ）

A.-40 B. C.40 D.

6. 难度：中等

张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（    ）

A.30 B. C.33 D.

7. 难度：中等

如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

二、多选题

9. 难度：简单

为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（    ）

A.他们健身后，体重在区间内的人增加了2个

B.他们健身后，体重在区间内的人数没有改变

C.他们健身后，20人的平均体重大约减少了

D.他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少

10. 难度：简单

若，，则（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（    ）

A.C的焦距为

B.C的离心率为

C.圆D在C的内部

D.的最小值为

12. 难度：中等

已知函数的定义域为，则（    ）

A.为奇函数

B.在上单调递增

C.恰有4个极大值点

D.有且仅有4个极值点

三、填空题

13. 难度：简单

当取得最小值时，______.

14. 难度：简单

已知P为双曲线C：右支上一点，，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴.若，，成等比数列，则______.

15. 难度：简单

现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.

16. 难度：中等

在正方体中，E为棱CD上一点，且，F为棱的中点，且平面BEF与交于点G，与交于点H，则______，______.

17. 难度：中等

在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.

四、解答题

18. 难度：中等

设，向量，，.

（1）试问数列是否为等差数列？为什么？

（2）求数列的前项和.

19. 难度：中等

某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

购买金额（元）
人数	10	15	20	15	20	10

（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

	不少于60元	少于60元	合计
男		40
女	18
合计

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：，.

附表：

	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879
	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.

（1）证明：平面ABCD.

（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.

21. 难度：中等

如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

（1）求抛物线C的方程.

（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22. 难度：困难

已知函数，函数（）.

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，.

（3）证明：当时，.