2020届广东省中山市高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

集合，，则（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

已知是虚数单位，复数满足，则（    ）

A. B. C. D.5

3. 难度：简单

计算的结果为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是　　

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

若,则(     )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知满足不等式组则的最小值为（  ）

A.2 B. C. D.1

7. 难度：简单

电路从到上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从到连通的概率是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（   ）

A.种 B.种 C.种 D.种

9. 难度：简单

已知函数的最小正周期是，若，则（    ）

A. B. C.1 D.-1

10. 难度：困难

我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（    ）

A.9 B.12 C.16 D.18

12. 难度：困难

若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ）

A. B. C. D.1

二、填空题

13. 难度：简单

等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则：__________.

14. 难度：中等

已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_____.

15. 难度：简单

已知，则的值为        .

16. 难度：困难

已知函数，若有，则实数的取值范围是__________．

三、解答题

17. 难度：中等

设为数列的前项和，已知，.

（1）证明为等比数列；

（2）判断，，是否成等差数列？并说明理由.

18. 难度：困难

已知的三个内角，，所对的边分别为，，.

（1）若，求；

（2）若，试判断的形状.

19. 难度：中等

如图，在三棱台中，二面角是直二面角，，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数.

（1）若在上单调，求的取值范围.

（2）若的图像恒在轴上方，求的取值范围.

21. 难度：中等

某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示；

质量指标值	6	7	8	9	10
零件个数	6	18	60	12	4

使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售.

（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；

（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400元，估计的最小值；

（3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下，估计的最小值（精确到0.01） .

22. 难度：简单

在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的参数方程;

(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.

23. 难度：中等

已知，且、、都是正数.

（1）求证：；

（2）求证：.