上海市2017-2018学年高二上学期12月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，则的方程是__________

2. 难度：简单

方程表示一个圆,则实数的取值范围是_____.

3. 难度：简单

等腰三角形底边的两个端点是，则顶点的轨迹方程是___________

4. 难度：简单

是椭圆上动点，，是椭圆的两焦点，则的最大值为__．

5. 难度：中等

已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程是_________

6. 难度：简单

已知为圆上的动点，为一定点，动点满足，则动点的轨迹方程是__________

7. 难度：简单

圆，过点作圆的所有弦中，最短弦所在直线方程是__________

8. 难度：简单

双曲线的焦点坐标是（用表示）__．

9. 难度：简单

若直线与圆在第一象限有两个不同的交点，则实数的取值范围是__．

10. 难度：中等

已知圆和两点，，若圆上存在点使得，则的最大值为__________．

11. 难度：中等

设实数，满足，则的最小值是__．

12. 难度：简单

椭圆：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆：．设直线：，当实数变化时，被截得的最大弦长是__．

二、单选题

13. 难度：中等

圆上到直线之距离为的点有（ ）个

A.1 B.2 C.3 D.4

14. 难度：中等

条件甲：“曲线上的点的坐标都是方程的解”，条件乙：“曲线是的图形”，则乙是甲的（    ）

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

15. 难度：简单

过点和双曲线仅有一交点的直线有（　　）

A.1条 B.2条 C.4条 D.不确定

16. 难度：困难

对于方程为的曲线给出以下三个命题:

（1）曲线关于原点对称；（2）曲线关于轴对称，也关于轴对称，且轴和轴是曲线仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点，都在曲线上，则四边形每一条边的边长都大于2；

其中正确的命题是（    ）

A.（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3）

三、解答题

17. 难度：中等

已知点，直线及圆.

（1）求过点的圆的切线方程；

（2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值.

18. 难度：中等

已知抛物线C：和直线l：,O为坐标原点．

（1）求证：l与C必有两交点；

（2）设l与C交于A,B两点,且直线OA和OB斜率之和为1,求k的值．

19. 难度：困难

教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为.我们将其结论推广：椭圆上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用.已知，直线与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求的值

（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点分别作该椭圆的两条切线，且与交于点.当变化时，求面积的最大值.

20. 难度：困难

已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点.

（1）求轨迹的方程；

（2）求斜率的取值范围；

（3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.