江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列不等式中成立的是（ ）

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

2. 难度：简单

不等式的解集为（    ）

A.或 B.或

C. D.

3. 难度：简单

双曲线离心率为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（    ）

A.7 B.8 C.15 D.16

6. 难度：简单

已知正方体中，是的中点，直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（  ）

A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤

8. 难度：困难

关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、多选题

9. 难度：中等

下列判断中正确的是（    ）

A.在中，“”的充要条件是“，，成等差数列”

B.“”是“”的充分不必要条件

C.命题：“，使得”，则的否定：“，都有”

D.若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线

10. 难度：简单

已知向量，，， 下列等式中正确的是（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知数列的前项和为，且（其中为常数），则下列说法正确的是（    ）

A.数列一定是等比数列 B.数列可能是等差数列

C.数列可能是等比数列 D.数列可能是等差数列

12. 难度：困难

已知方程和（其中且，），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（    ）

A. B. C. D.

三、填空题

13. 难度：简单

已知向量，，若，则实数的值为_______．

14. 难度：中等

已知正实数，满足，则的最小值为_______．

15. 难度：中等

早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系中，桥拱所在抛物线的方程为_______，溢流孔与桥拱交点 的坐标为_______．

16. 难度：困难

已知一族双曲线：（，且），设直线与在第一象限内的交点为，由向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，．记的面积为，则______.

四、解答题

17. 难度：简单

解下列不等式：

（1）；

（2）．

18. 难度：中等

已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和．

19. 难度：中等

如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为，此铝合金窗占用的墙面面积为，设该铝合金窗的宽和高分别，，铝合金的透光部分的面积为（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．

（1）试用，表示；

（2）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？

20. 难度：中等

已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，．

（1）求的取值范围；

（2）若为直角三角形，且，求的值．

21. 难度：困难

如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的大小；

（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值．

22. 难度：困难

如图，已知椭圆，左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点．

（1）若．

①求椭圆的离心率；

②求直线的斜率．

（2）若，，成等差数列，且，求直线的斜率的取值范围．