第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.3 函数模型的应用

一、单选题

1. 难度：简单

据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与第x年近似满足关系，观测发现2012年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2018年冬有越冬白鹤（    ）

A.4000只 B.5000只 C.6000只 D.7000只

2. 难度：简单

某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（　　）

A. 200本    B. 400本    C. 600本    D. 800本

二、填空题

3. 难度：简单

工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5^x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．

三、解答题

4. 难度：简单

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

5. 难度：简单

某厂推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据统计数据，总收益P（单位：元）与月产量x（单位：件）满足（注：总收益=总成本+利润）

（1）请将利润y（单位：元）表示成关于月产量x（单位：件）的函数；

（2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？

四、单选题

6. 难度：中等

某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用

A.一次函数 B.二次函数

C.指数型函数 D.对数型函数

7. 难度：简单

某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为(　　)

A. 2元    B. 2.5元

C. 1元    D. 1.5元

五、解答题

8. 难度：中等

牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量,已知羊群的年增长量y（只）和实际畜养量x（只）与空闲率的乘积成正比，比例系数为.

（1）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；

（2）求羊群年增长量的最大值.

9. 难度：中等

国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．

（1）写出每人需交费用关于人数的函数；

（2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？

六、单选题

10. 难度：简单

在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（    ）

x	1.992	3	4	5.15	6.126
y	1.517	4.0418	7.5	12	18.01

A. B. C. D.

七、填空题

11. 难度：简单

现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x²＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．

八、解答题

12. 难度：中等

下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，，三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．

车速/（km/h）	10	15	30	40	50
刹车距离/m	4	7	12	18	25
车速/（（km/h）	60	70	80	90	100
刹车距离/m	34	43	54	66	80

九、单选题

13. 难度：简单

某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利(  )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

14. 难度：简单

某人2010年1月1日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算，到2017年1月1日可取款（不计利息税）（    ）

A.元 B.元 C.元 D.元

15. 难度：简单

国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按征税.有一公司的实际缴税比例为，则该公司的年收入是（    ）

A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元

16. 难度：简单

某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额（元）(为年销售额)，而，若一员工获得元的奖励，那么该员工一年的销售额为（    ）

A. B. C. D.

17. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y＝f(x)的图象大致是（    ）

A. B. C. D.

十、多选题

18. 难度：中等

下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是（    ）

A.这几年生活水平逐年得到提高

B.生活费收入指数增长最快的一年是2015年

C.生活价格指数上涨速度最快的一年是2016年

D.虽然2017年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善

E.2016年生活价格指数上涨的速度与2017年生活价格指数下降的速度相同

十一、填空题

19. 难度：简单

某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e^kt(其中k为常数;t表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.

20. 难度：简单

    已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大，此时x＝__________，面积S＝__________.

21. 难度：中等

有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形如图所示，则围成场地的最大面积为______围墙厚度不计．

十二、解答题

22. 难度：中等

为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%，则用户人数会增加万人．

（1）若要保证该公司月总收入不减少，试求x的取值范围；

（2）为了布局“5G网络”，该公司拟定投入资金进行5G网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求x的值．

（总盈利资金=总收入资金-总投入资金）

23. 难度：中等

习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤小时后检测，发现污染物的含量为原来的．

（1）求函数的关系式；

（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：）

24. 难度：中等

某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所以自行车的总收入减去管理费用后的所得）.

（1）求函数的解析式及定义域；

（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？

25. 难度：中等

为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：

上市时间x天	1	2	6
市场价y元	5	2	10

（Ⅰ）分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的解析式；

（Ⅱ）利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格．