2020届安徽省六安市高三1月教学质量检测数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知双曲线：的一条渐近线为，则的离心率为（    ）

A. B.3 C.2 D.10

3. 难度：简单

已知实数，，满足，且，那么下列各式中一定成立的是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ）

A. B.1 C. D.2

5. 难度：简单

《算法统宗》里有一段叙述：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传”，意思是将996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传.则第二和第七个孩子分得棉的斤数之和为（    ）

A.167 B.176 C.249 D.255

6. 难度：中等

对于任意，函数满足，且当时，，若，，，则，，之间的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知函数，.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

如图，网格纸上小正方形的边长为1.粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知圆：与直线：，为直线上一动点.若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ）

A. B.4 C.2 D.

10. 难度：中等

关于函数有下述四个结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间上单调递减；③函数在上有四个零点；④函数的最大值为1.其中所有正确的结论序号为（    ）

A.①②④ B.②④ C.①③ D.②③④

11. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以为圆心，为半径的圆交轴负半轴于点.平行于的直线与抛物线相切于点，则直线必过定点（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

若实数，满足约束条件，则的最小值为______.

14. 难度：中等

在中，已知，，，角的平分线交边于，则______.

15. 难度：中等

设的图象在点处的切线为，则曲线，直线及轴所围成的图形的面积为______.

16. 难度：中等

在四棱锥中，底面为矩形，平面，，.以为直径的球与交于点（异于点），则四面体外接球半径______.

三、解答题

17. 难度：中等

记为等比数列的前项的和，且为递增数列.已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项之和.

18. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，设.

（1）求的值；

（2）若，，求的值.

19. 难度：中等

在第六个国家扶贫日到来之际，中共中央总书记、国家主席①、中央军委主席习近平对脱贫攻坚工作作出重要指示强调，新中国成立70年来，中国共产党坚持全心全意为人民服务的根本宗旨，坚持以人民为中心的发展思想，带领全国各族人民持续向贫困宣战.某县政府响应习总书记的号召，实施整治环境吸引外地游客的脱贫战略，效果显著.某旅行社组织了两个旅游团于近期来到了该县的某风景区.数据显示，近期风景区中每天空气质量指数近似满足函数，其中为每天的时刻.若在凌晨4点时刻，测得空气质量指数为21.8.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求近期每天在时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：）

20. 难度：中等

已知点，直线：，平面上有一动点，记点到的距离为.若动点满足：.

（1）求点的轨迹方程；

（2）过的动直线与点的轨迹交于，两点，试问：在轴上，是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

21. 难度：中等

如图1，四边形是等腰梯形，，，，为的中点.将沿折起，如图2，点是棱上的点.

（1）若为的中点，证明：平面平面；

（2）若，试确定的位置，使二面角的余弦值等于.

22. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围.