上海市松江区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

计算：__________________.

2. 难度：简单

已知集合，，则____.

3. 难度：简单

已知为等差数列，为其前项和，若，，则__________.

4. 难度：简单

已知函数的反函数为，且，则实数______.

5. 难度：简单

已知角的终边与单位圆交于点，则__________.

6. 难度：简单

如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是__________．

7. 难度：中等

函数的图象与的图象在区间上交点的个数是____________.

8. 难度：简单

设直线与圆相交于A,B两点，且弦AB的长为，则=_____.

9. 难度：中等

在中，，的面积为. 若，，则的最小值为___________.

10. 难度：中等

已知函数有三个零点，则实数的取值范围为__________.

11. 难度：中等

已定义，已知函数的定义域都是，则下列四个命题中为真命题的是_________．（写出所有真命题的序号）

① 若都是奇函数，则函数为奇函数．

② 若都是偶函数，则函数为偶函数．

③ 若都是增函数，则函数为增函数．

④ 若都是减函数，则函数为减函数．

12. 难度：困难

已知数列的通项公式为，若对任意、都有，则实数的取值范围为______.

二、单选题

13. 难度：简单

若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则的值为（    ）

A.-5 B.5 C.-3 D.3

14. 难度：简单

已知是上的偶函数，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

15. 难度：中等

若存在使成立，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：困难

已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

三、解答题

17. 难度：简单

在中，，，.

（1）求边的长；

（2）求的面积.

18. 难度：中等

已知函数（，常数）.

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）当时，研究函数在内的单调性.

19. 难度：中等

松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利. 已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔（单位：分钟）满足. 经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔相关，当时电车为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人.记电车载客量为.

（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，电车的载客量；

（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

20. 难度：中等

已知椭圆经过点，其左焦点为.过点的直线交椭圆于、两点，交轴的正半轴于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且与垂直的直线交椭圆于、两点，若四边形的面积为，求直线的方程；

（3）设，，求证：为定值.

21. 难度：困难

已知有穷数列共有项，且.

（1）若，，，试写出一个满足条件的数列；

（2）若，，求证：数列为递增数列的充要条件是；

（3）若，则所有可能的取值共有多少个？请说明理由.